자연계열 3번

(3-1) 제시문 (다)의 합성함수의 미분법에 의하여 $\displaystyle \frac{d}{dx}\{\ln f(x)\}=\frac{f^\prime(x)}{f(x)}$이고, 주어진 조건에 의해$\displaystyle \frac{d^2}{dx^2}\{\ln f(x)\}=\frac{f^{\prime\prime}(x)f(x)-\{f^\prime(x)\}^2}{\{f(x)\}^2}\ge2$임을 알 수 있다.

(3-2) $\displaystyle g^\prime(x)=2f(x)f^\prime(x)$이고$\displaystyle g^{\prime\prime}(x)=2\{f^\prime(x)\}^2+2f(x)f^{\prime\prime}(x)\ge4\{f^\prime(x)\}^2+4\{f(x)\}^2\ge0,\quad g(0)=1,\;g^\prime(0)=0$임을 알 수 있다. 제시문 (가)에 의하여 $\displaystyle g(x)\ge g(0)$이다. 따라서 모든 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle g(x)\ge1$이다.

(3-3) 모든 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f(x)>0$임을 보인다. 만약 $\displaystyle f(b)\le0$인 $\displaystyle b$가 존재한다고 가정하면 제시문 (나)의 사잇값 정리에 의해 $\displaystyle f(c)=\frac12$인 $\displaystyle c$가 0과 $\displaystyle b$사이에 적어도 하나 존재한다. 그러면 $\displaystyle g(c)=\{f(c)\}^2=\frac14$이므로 (3-2)에 모순이다. 따라서 모든 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f(x)>0$이다.

함수 $\displaystyle h$를$\displaystyle h(x)=\ln f(x)-x^2$로 정의하자. 주어진 조건에 의해 $\displaystyle f(0)=1$, $\displaystyle f^\prime(0)=0$이므로, 함수 $\displaystyle h$는$\displaystyle h^{\prime\prime}(x)\ge0,\quad h(0)=0,\quad h^\prime(0)=0$을 만족한다. 제시문 (가)에 의하여 $\displaystyle h(x)\ge h(0)=0$이므로, 이로부터 $\displaystyle f(x)\ge e^{x^2}$임을 알 수 있다.