자연계열 1번

(1-1) 제시문 (나)에 의해 $\displaystyle P$에서의 접선의 방정식이 $\displaystyle y=-e^{-t}(x-t)+e^{-t}$ 이므로 $\displaystyle T$의 좌표는 $\displaystyle (t+1,0)$이다.원 $\displaystyle C$의 중심 $\displaystyle F$의 좌표를 $\displaystyle (x_t,y_t)$라 하면 $\displaystyle x_t,y_t$는 다음과 같이 구할 수 있다.(i) $\displaystyle F$가 $\displaystyle \ell$과 수직이고 $\displaystyle P$를 지나는 직선위에 있으므로 $\displaystyle y_t=e^t(x_t-t)+e^{-t}$ 이다.(ii) $\displaystyle T$에서 원 $\displaystyle C$의 두 접점까지의 거리가 같으므로 $\displaystyle t+1-x_t=\sqrt{1+e^{-2t}}$ 이다.그러므로 $\displaystyle x_t=t+1-\sqrt{1+e^{-2t}}$, $\displaystyle r(t)=y_t=e^t+e^{-t}-e^t\sqrt{1+e^{-2t}}=e^t+e^{-t}-\sqrt{1+e^{2t}}$이고 제시문 (가)에 의해 $\displaystyle Q$에서 접선 $\displaystyle y=-e^{-t}(x-t)+e^{-t}$ 까지의 거리 $\displaystyle d(t)=\frac1{\sqrt{1+e^{2t}}}$이다.

따라서 $\displaystyle r(a)d(a)=1\Rightarrow e^a+e^{-a}-\sqrt{1+e^{2a}}=\sqrt{1+e^{2a}}\Rightarrow e^a+e^{-a}=2\sqrt{1+e^{2a}}$$\displaystyle u=e^a$로 치환하고 양변을 제곱하여 정리하면 $\displaystyle (u^2+1)(3u^2-1)=0$이고 $\displaystyle u>0$이므로 $\displaystyle u=\frac1{\sqrt3}$이다.따라서, $\displaystyle a=-\frac12\ln3$이다.

(1-2) $\displaystyle r(x)+\frac1{d(x)}=e^x+e^{-x}$이고 양변을 미분하면$\displaystyle \frac{d}{dx}f(x^3)=\frac{d}{dx}\left\{x^2\left(r(x)+\frac1{d(x)}\right)\sin(\pi x)\right\}=\frac{d}{dx}\{x^2(e^x+e^{-x})\sin(\pi x)\}$이고 제시문 (다)에 의해$\displaystyle 3x^2f^\prime(x^3)=2x(e^x+e^{-x})\sin(\pi x)+x^2(e^x-e^{-x})\sin(\pi x)+\pi x^2(e^x+e^{-x})\cos(\pi x)$이다. 따라서 $\displaystyle x\ne0$일 때$\displaystyle f^\prime(x^3)=\frac{2(e^x+e^{-x})}3\frac{\sin(\pi x)}x+\frac{e^x-e^{-x}}3\sin(\pi x)+\frac\pi3(e^x+e^{-x})\cos(\pi x)$

이고 $\displaystyle f^\prime(x)$가 $\displaystyle x=0$에서 연속이므로 $\displaystyle f^\prime(0)=\lim_{x\to0}f^\prime(x^3)=\frac43\pi+0+\frac23\pi=2\pi$이다.

(1-3) $\displaystyle T$의 좌표가 $\displaystyle (t+1,0)$이고 삼각형 $\displaystyle PQT$의 넓이가 $\displaystyle \frac12e^{-t}$이므로$\displaystyle S(t)=\int_t^{t+1}e^{-x}dx-\frac12e^{-t}=\Biggl[-e^{-x}\Biggr]_t^{t+1}-\frac12e^{-t}=e^{-t}\left(\frac12-\frac1e\right)=\frac{e-2}{2e}e^{-t}$이다.

한편 삼각형 $\displaystyle PFT$의 넓이 $\displaystyle A(t)=\frac12\sqrt{1+e^{-2t}}\left(e^t+e^{-t}-\sqrt{1+e^{2t}}\right)$이다.

따라서 $\displaystyle \begin{aligned}\lim_{t\to\infty}\frac{A(t)}{S(t)}&=\frac{e}{e-2}\lim_{t\to\infty}\frac{\sqrt{1+e^{-2t}}(e^t+e^{-t}-\sqrt{1+e^{2t}})}{e^{-t}}\\&=\frac{e}{e-2}\lim_{t\to\infty}\frac{(1+e^{2t})(\sqrt{1+e^{2t}}-e^t)}{e^t}\\&=\frac{e}{e-2}\lim_{t\to\infty}\frac{1+e^{2t}}{e^t(\sqrt{1+e^{2t}}+e^t)}\\&=\frac{e}{e-2}\lim_{t\to\infty}\frac{1+e^{2t}}{e^t\sqrt{1+e^{2t}}+e^{2t}}\\&=\frac{e}{e-2}\lim_{t\to\infty}\frac{\frac1{e^{2t}}+1}{\sqrt{\frac1{e^{2t}}+1}+1}\\&=\frac{e}{2(e-2)}\end{aligned}$