자연계열 2-1번

II. 다음 <제시문>을 읽고 <논제>에 답하시오.

[가] 현대 사회에서 은행예금은 개인들의 가장 기본적인 재테크 수단이다. 은행에 원금 P를 예금하여 이자를 연이율 10%로 받기로 약정했을 때 단리인 경우와 복리인 경우로 나누어 생각할 수 있다. 단리인 경우 1년 후에는 원금과 이자 합계(이하 원리합계)가 1.1P, 2년 후에는 1.2P, 3년 후에는 1.3P가 될 것이다. 복리인 경우에는 1년 후에는 원리합계가 1.1P, 2년 후에는 1.1P에 대한 이자가 붙어 1.21P, 3년 후에는 1.21P에 대한 이자가 붙어 1.331P가 된다. 따라서 단리 예금보다는 복리 예금이 예금자에게 유리한 조건이다.

<논제 II-1> 제시문 [가]를 참조하여 다음 물음에 답하시오. (20점)

(1) 원금 P를 1년마다 이율 10% (복리 산정기간 1년), 6개월마다 이율 5% (복리 산정기간 6개월), 3개월마다 이율 2.5% (복리 산정기간 3개월)의 조건으로 1년 동안 복리 예금했을 때, 세 가지 경우에 대한 1년 후의 원리합계를 추정하시오.

(2) 원금을 P로 예금 기간은 1년으로 고정하고 (1)과 같은 방법으로 계속 복리 산정기간을 줄여 무한히 작게 하였을 때 1년 후의 원리합계가 얼마인지 $\displaystyle e$를 사용하여 추정하고, 그 방법에 대하여 논술하시오. 단, $\displaystyle e$는 $\displaystyle e=\lim_{t\to0}(1+t)^{\frac1t}$이며, 복리 산정기간이 $\displaystyle \frac1m$년이면 매 $\displaystyle \frac1m$년마다 이율 $\displaystyle \frac{10}m\%$로 1년간 복리 약정하는 것으로 한다.

(3) $\displaystyle n$명이 똑같이 원금 1 (P=1)을 가지고 복리 산정기간은 모두 $\displaystyle \frac1m$년, 이율은 각각 $\displaystyle \frac xm\%,\;\frac{2x}m\%,\;\frac{3x}m\%,\;\cdots,\;\frac{nx}m\%$로 1년간 복리 예금에 가입한다고 가정하고, (2)와 마찬가지로 복리 산정기간을 무한히 작게 한다고 하자. 이때 1년 후의 원리합계 금액을 각각 $\displaystyle Q(x),\;Q(2x),\;Q(3x),\;\cdots,\;Q(nx)$라고 하면, $\displaystyle n$명의 원리합계 평균은 $\displaystyle \frac{Q(x)+Q(2x)+\cdots+Q(nx)}n$ 가 된다. (2)의 결과를 참조하여 극한값 $\displaystyle \lim_{x\to0}\left[\frac1x\ln\left\{\frac{Q(x)+Q(2x)+\cdots+Q(nx)}n\right\}\right]$를 추정하고, 그 방법에 대하여 논술하시오. 단, $\displaystyle \ln x=\log_e x$.