자연계열 1번

<논제 I-1>

(1) 주어진 함수$\displaystyle P ( t )$는 미분가능하며,

$\displaystyle P^{\prime}(t)=-3t^2+66t-336=-3(t^2-22t+112)=-3(t-8)(t-14)$

이므로 $\displaystyle t$=8, 14에서 극값을 가짐을 알수있다. 함수의 증감표를 구성하면 다음과 같다.

따라서 함수$\displaystyle P ( t )$ 의 값이 최대가 되는곳은 $\displaystyle t$=0에서 가지게 됨을 알수있다.

(2)

$\displaystyle \int_{0}^{24} {P ( t ) d t}$ 의 근사값은 3개 시점에서 정확한 값을 알고 있으므로 근사값은

$\displaystyle \int_0^{24}P(t)\,dt\approx$ {P(4) + P(12) + P(20)}$\displaystyle \times8$

$\displaystyle =\{3120+2992+2480\}\times8=8592\times8=68,736$

메가와트 로 추정할수 있다.Correction. 전력량의 단위 “메가와트(MW)”는 “메가와트시(MWh)”의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(3) 전력$\displaystyle P$는 에너지의 변화율이므로 $\displaystyle P(t)=E^{\prime}(t)$ 이다. 따라서

$\displaystyle \int_0^{24}P(t)\,dt=\int_0^{24}E^{\prime}(t)\,dt=E(24)-E(0)$ 이다.

$\displaystyle \int_0^{24}P(t)\,dt=\Biggl[-\frac14t^4+11t^3-168t^2+4000t\Biggr]_0^{24}=68352$ 메가와트Correction. 전력량의 단위 “메가와트(MW)”는 “메가와트시(MWh)”의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

<논제 I-2>

(1) 주기 T를 산정 할 때 다리의 실제길이 $\displaystyle {\mathrm{L}}$이 아니라 유효길이 $\displaystyle {\mathrm{L}^{\prime}}$을 사용해야 한다.

다리 길이 1m인 사람의 유효길이는 0.4m이므로 주기 T는1.26초이다.

($\displaystyle {\mathrm{T} = 2 \pi \sqrt{( 0.4 \mathrm{m} ) / ( 10 \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2} )} \simeq 1.26 \mathrm{s}}$)

대부분의 사람은 두발로 걷고 있으므로 1/2 주기에 한 걸음 전진한다.

따라서 한걸음에 걸리는 시간은 주기의 1/2인 0.63초이다.

그러므로 보행속도는 $\displaystyle {\mathrm{v}} \simeq ( 0.63 \mathrm{m} ) / ( 0.63 \mathrm{s} ) = {1.0 \mathrm{m} / \mathrm{s}}$ 또는 시속 $\displaystyle 3.6 k m$.

(2) 유효길이는 다리 길이에 비례하므로 ($\displaystyle L^{\prime}\propto L$)

주기는 다리 길이의 제곱근에 비례한다. ($\displaystyle T\propto\sqrt{L^{\prime}}\propto\sqrt L$)

또한 보폭은 다리 길이에 비례한다. (보폭 $\displaystyle \propto L$)

보행속도는 보폭/주기에 비례하므로 ($\displaystyle v=\frac{\text{보폭}}{T/2}\propto\frac L{\sqrt L}$)

따라서 보행속도는 다리 길이의 제곱근에 비례한다. $\displaystyle v\propto\sqrt L$

(∴ 다리가 긴 사람이 다리가 짧은 사람보다 보행속도가 빠르다.)

<논제 II-1>

(1) 1년동안 복리 10% 이면 $\displaystyle P(1+0.1)$,

6 개월(= $\displaystyle \frac12$년)마다 복리 5%이면 $\displaystyle P(1+\frac{0.1}2)(1+\frac{0.1}2)$,

3 개월(=$\displaystyle \frac14$년)마다 복리 2.5%이면$\displaystyle P(1+\frac{0.1}4)(1+\frac{0.1}4)(1+\frac{0.1}4)(1+\frac{0.1}4)$

이다.

(2) (1) 과 같이 생각하면 복리산정기간이 $\displaystyle \frac{{1}}{m}$년이면 $\displaystyle \frac{{1}}{m}$년마다 복리$\displaystyle \frac{{10 \%}}{m}$ 이므로

원리합계의 식은 $\displaystyle P ( 1 + \frac{{0.1}}{m} )^{m}$ 이 됨을 알수있다. 복리산정기간(즉$\displaystyle \frac{{1}}{m}$년) 을 무한히 작게한다는것은 $\displaystyle m$ 을 무한히 크게 하는것 이므로 원리합계는 $\displaystyle \lim_{t \to \infty} {( 1 + \frac{{x}}{t} )^{t} = e^{x}}$ 를 이용하여

$\displaystyle \lim_{m\to\infty}P(1+\frac{0.1}m)^m=P\lim_{m\to\infty}(1+\frac{0.1}m)^m=Pe^{0.1}$ 임을 알수있다.

(3) (2) 에 의해 $\displaystyle Q ( x ) = P e^{\frac{{x}}{100}}$, $\displaystyle Q ( 2 x ) = P e^{\frac{{2 x}}{100}}$, ..., $\displaystyle Q ( n x ) = P e^{\frac{{n x}}{100}}$ 임을 알수있다.

$\displaystyle f(x)=\ln\{e^{\frac x{100}}+e^{\frac{2x}{100}}\ldots+e^{\frac{nx}{100}}\}$ 라 두면 $\displaystyle f(0)=\ln n$ 이다. P=1 이므로

극한 값 $\displaystyle \lim_{x \to 0} {\frac{{1}}{x} \ln \frac{{Q ( x ) + Q ( 2 x ) + \cdots + Q ( n x )}}{n}}$

$\displaystyle =\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}x=f^{\prime}(0)=\frac{n+1}{200}$ 이다.