자연계열 1-2번

[가]

최대 최소의 정리: 함수 $\displaystyle f ( x )$가 닫힌 구간 $\displaystyle [ a , b ]$에서 연속이면, $\displaystyle f ( x )$는 이 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 갖는다.

함수 $\displaystyle f ( x )$가 닫힌 구간 $\displaystyle [ a , b ]$에서 연속이고 열린 구간 $\displaystyle ( a , b )$에서 미분가능하며, $\displaystyle a$와 $\displaystyle b$사이의 점 $\displaystyle x = c$에서 최댓값 혹은 최솟값을 가지면 $\displaystyle f^{\prime} ( c ) = 0$이다.

[나]

롤의 정리: 함수 $\displaystyle f ( x )$가 닫힌 구간 $\displaystyle [ a , b ]$에서 연속이고 열린 구간 $\displaystyle ( a , b )$에서 미분가능할 때, $\displaystyle f ( a ) = f ( b )$이면 $\displaystyle f^{\prime} ( c ) = 0$인 $\displaystyle c$가 $\displaystyle a$와 $\displaystyle b$ 사이에 적어도 하나 존재한다.

롤의 정리를 일반화해서 다음의 평균값 정리를 얻을 수 있다.

평균값 정리: 함수 $\displaystyle f ( x )$가 닫힌 구간 $\displaystyle [ a , b ]$에서 연속이고 열린 구간 $\displaystyle ( a , b )$에서 미분가능하면

$\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$

인 $\displaystyle c$가 $\displaystyle a$와 $\displaystyle b$ 사이에 적어도 하나는 존재한다.

평균값 정리에 의해, 열린 구간 $\displaystyle ( a , b )$의 모든 $\displaystyle x$에 대해 $\displaystyle f^{\prime} ( x ) \leq 0$이면 구간 $\displaystyle ( a , b )$의 $\displaystyle x_{1} \leq x_{2}$인 임의의 두 수 $\displaystyle x_{1} , x_{2}$에 대해 $\displaystyle f ( x_{1} ) \geq f ( x_{2} )$를 얻는다. 즉, 함수 $\displaystyle f ( x )$는 증가하지 않는 함수이다.

[다]

만약 주어진 함수 $\displaystyle f ( x )$가 두 번 미분가능하다면, 이계도함수 $\displaystyle f^{\prime \prime} ( x )$로부터 함수 $\displaystyle f ( x )$의 그래프의 모양을 알 수 있다. 어떤 구간에서 $\displaystyle f^{\prime \prime} ( x ) > 0$이면 곡선 $\displaystyle y = f ( x )$는 이 구간에서 아래로 볼록하고, $\displaystyle f^{\prime \prime} ( x ) < 0$이면 곡선 $\displaystyle y = f ( x )$는 위로 볼록하다.