경희대 2016학년도 모의 자연계열 1-(3)~(4)번 해설

I. 다음 제시문을 읽고 논제에 답하시오. <수학>

[가]

최대 최소의 정리: 함수 $\displaystyle f ( x )$ 가 닫힌 구간 $\displaystyle [ a , b ]$ 에서 연속이면, $\displaystyle f ( x )$ 는 이 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 갖는다.

함수 $\displaystyle f ( x )$ 가 닫힌 구간 $\displaystyle [ a , b ]$ 에서 연속이고 열린 구간 $\displaystyle ( a , b )$ 에서 미분가능하며, $\displaystyle a$ 와 $\displaystyle b$ 사이의 점 $\displaystyle x = c$ 에서 최댓값 혹은 최솟값을 가지면 $\displaystyle f^{\prime} ( c ) = 0$ 이다.

[나]

롤의 정리: 함수 $\displaystyle f ( x )$ 가 닫힌 구간 $\displaystyle [ a , b ]$ 에서 연속이고 열린 구간 $\displaystyle ( a , b )$ 에서 미분가능할 때, $\displaystyle f ( a ) = f ( b )$ 이면 $\displaystyle f^{\prime} ( c ) = 0$ 인 $\displaystyle c$ 가 $\displaystyle a$ 와 $\displaystyle b$ 사이에 적어도 하나 존재한다.

롤의 정리를 일반화해서 다음의 평균값 정리를 얻을 수 있다.

평균값 정리: 함수 $\displaystyle f ( x )$ 가 닫힌 구간 $\displaystyle [ a , b ]$ 에서 연속이고 열린 구간 $\displaystyle ( a , b )$ 에서 미분가능하면

$\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$

인 $\displaystyle c$ 가 $\displaystyle a$ 와 $\displaystyle b$ 사이에 적어도 하나는 존재한다.

평균값 정리에 의해, 열린 구간 $\displaystyle ( a , b )$ 의 모든 $\displaystyle x$ 에 대해 $\displaystyle f^{\prime} ( x ) \leq 0$ 이면 구간 $\displaystyle ( a , b )$ 의 $\displaystyle x_{1} \leq x_{2}$ 인 임의의 두 수 $\displaystyle x_{1} , x_{2}$ 에 대해 $\displaystyle f ( x_{1} ) \geq f ( x_{2} )$ 를 얻는다. 즉, 함수 $\displaystyle f ( x )$ 는 증가하지 않는 함수이다.

[다]

만약 주어진 함수 $\displaystyle f ( x )$ 가 두 번 미분가능하다면, 이계도함수 $\displaystyle f^{\prime \prime} ( x )$ 로부터 함수 $\displaystyle f ( x )$ 의 그래프의 모양을 알 수 있다. 어떤 구간에서 $\displaystyle f^{\prime \prime} ( x ) > 0$ 이면 곡선 $\displaystyle y = f ( x )$ 는 이 구간에서 아래로 볼록하고, $\displaystyle f^{\prime \prime} ( x ) < 0$ 이면 곡선 $\displaystyle y = f ( x )$ 는 위로 볼록하다.

[논제 I-3] 함수 $\displaystyle f ( x )$ 는 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대해 두 번 미분가능하다. 그리고 $\displaystyle f ( x )$ 는 구간 $\displaystyle [ - 1 , 1 ]$ 에서 상수 함수가 아니며, 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대해 $\displaystyle f^{\prime \prime} ( x ) \leq 0$ 이고 $\displaystyle f ( - 1 ) = f ( 1 ) = 0$ 이다. 함수 $\displaystyle f ( x )$ 에 대한 주어진 조건을 이용해 그래프의 모양을 생각해보면 $\displaystyle f^{\prime} ( 1 )$ 의 부호를 알 수 있다. 다음 중 맞는 답을 고르고 그 이유를 논술하시오. (18점)

① $\displaystyle f'(1)>0$ 　　　　② $\displaystyle f'(1)<0$ 　③ $\displaystyle f'(1)=0$

[논제 I-4] 함수 $\displaystyle f ( x )$ 는 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대해 두 번 미분가능하다. 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대해 $\displaystyle f^{\prime \prime} ( x ) \leq 0$ 이고 $\displaystyle f ( - 1 ) = - 1 , f ( 1 ) = 1$ 이다. 구간 $\displaystyle ( - 1 , 1 )$ 의 모든 점 $\displaystyle x$ 에 대해 $\displaystyle f ( - 1 ) < f ( x )$ 임을 보이고 그 이유를 논술하시오. (18점)

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[논제 I-3]

정답: ②

$\displaystyle f ( - 1 ) = f ( 1 ) = 0$ 이므로 롤의 정리에 의해 $\displaystyle - 1$ 과 $\displaystyle 1$ 사이에 적당한 $\displaystyle c$ 가 존재해 $\displaystyle f^{\prime} ( c ) = 0$ 이다. 그리고 $\displaystyle f^{\prime \prime} ( x ) \leq 0$ 이므로 $\displaystyle f^{\prime} ( x )$ 는 구간 $\displaystyle ( - 1 , 1 )$ 에서 증가하지 않는 함수이다. $\displaystyle c$ 가 $\displaystyle - 1$ 과 $\displaystyle 1$ 사이에 있고 $\displaystyle f^{\prime} ( x )$ 가 증가하지 않으므로 $\displaystyle f^{\prime} ( 1 ) \leq 0$ 임을 알 수 있다. 하지만 $\displaystyle f^{\prime} ( 1 ) = 0$ 이 될 수는 없다. 만약 $\displaystyle f^{\prime} ( 1 ) = 0$ 이라면 $\displaystyle f^{\prime} ( x )$ 가 구간 $\displaystyle ( - 1 , 1 )$ 에서 증가하지 않는 함수라는 사실로부터 구간 $\displaystyle ( - 1 , 1 )$ 의 모든 $\displaystyle x$ 에 대해 $\displaystyle f^{\prime} ( x ) \geq 0$ 임을 알 수 있다. 즉, $\displaystyle f ( x )$ 는 감소하지 않는 함수이다. 그런데 $\displaystyle f ( - 1 ) = f ( 1 ) = 0$ 이므로 $\displaystyle f ( x )$ 는 $\displaystyle [ - 1 , 1 ]$ 에서 상수함수가 되어야 한다. 이 구간에서 $\displaystyle f ( x )$ 가 상수함수가 아니므로 $\displaystyle f^{\prime} ( 1 ) < 0$ 이다.

[논제 I-4]

만약 $\displaystyle ( - 1 , 1 )$ 의 적당한 점 $\displaystyle x_{0}$ 에서 $\displaystyle f ( - 1 ) \geq f ( x_{0} )$ 라고 하자. 그러면 평균값 정리에 의해

$\displaystyle f^{\prime} ( c ) = \frac{{f ( x_{0} ) - f ( - 1 )}}{x_{0} - ( - 1 )}$

인 $\displaystyle c$ 가 $\displaystyle - 1$ 과 $\displaystyle x_{0}$ 사이에 존재한다. $\displaystyle f ( - 1 ) \geq f ( x_{0} )$ 이므로 $\displaystyle f^{\prime} ( c ) \leq 0$ 이다. 한편, 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대해 $\displaystyle f^{\prime \prime} ( x ) \leq 0$ 이므로 $\displaystyle f^{\prime} ( x )$ 는 증가하지 않는 함수이다. $\displaystyle f^{\prime} ( c ) \leq 0$ 이고 $\displaystyle f^{\prime} ( x )$ 는 증가하지 않으므로 닫힌 구간 $\displaystyle [ c , 1 ]$ 의 모든 $\displaystyle x$ 에 대해 $\displaystyle f^{\prime} ( c ) \leq 0$ 이다. 즉, 함수 $\displaystyle f ( x )$ 는 $\displaystyle x_{0}$ 을 포함하는 구간 $\displaystyle [ c , 1 ]$ 에서 증가하지 않는 함수이다. 따라서 $\displaystyle f ( x_{0} ) \geq f ( 1 )$ 이고, 이 부등식과 $\displaystyle f ( - 1 ) \geq f ( x_{0} )$ 으로부터 $\displaystyle - 1 = f ( - 1 ) \geq f ( x_{0} ) \geq f ( 1 ) = 1$ 을 얻는데, 이는 모순이다. 그러므로 구간 $\displaystyle ( - 1 , 1 )$ 의 모든 $\displaystyle x$ 에서 $\displaystyle f ( - 1 ) < f ( x )$ 이다.Correction. 이 문장의 $\displaystyle f^{\prime}(c)\le0$ 은 $\displaystyle f^{\prime}(x)\le0$ 을 뜻한다. $\displaystyle x\ge c$ 에서 도함수가 증가하지 않으므로 $\displaystyle f^{\prime}(x)\le f^{\prime}(c)\le0$ 이다.

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자연계열 1-(3)~(4)번

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