자연계열 1번

[논제 I-1]

$\displaystyle g ( x )$의 최대, 최소는 그래프의 꺾인 부분 또는 양 끝점에 있으므로 $\displaystyle x = 0 , 1 , 2 , 3$에서 $\displaystyle g ( x )$의 값을 비교하면 된다. $\displaystyle g ( 0 ) = 4 , g ( 1 ) = 2 - k , g ( 2 ) = 2 - 2 k , g ( 3 ) = 4 - 3 k$이고, $\displaystyle 0 \leq k \leq 5$이므로 최대는 $\displaystyle g ( 0 ) = 4$이다. 따라서 $\displaystyle M ( k ) = 4$. 그리고 $\displaystyle 0 \leq k \leq 5$에서 $\displaystyle 2 - k \geq 2 - 2 k$이므로 $\displaystyle g ( 2 ) = 2 - 2 k$와 $\displaystyle g ( 3 ) = 4 - 3 k$를 비교하면 된다. $\displaystyle 2 - 2 k \geq 4 - 3 k$이면 $\displaystyle k \geq 2$이므로

$\displaystyle m ( k ) = \begin{cases}2 - 2 k , & 0 \leq k \leq 2 \\ 4 - 3 k , & 2 \leq k \leq 5\end{cases}$

따라서, $\displaystyle F ( k ) = \begin{cases}2 + 2 k , & 0 \leq k \leq 2 \\ 3 k , & 2 \leq k \leq 5\end{cases}$이고, 최대는 $\displaystyle k = 5$일 때 15, 최소는 $\displaystyle k = 0$일 때 2.

[논제 I-2]

아니다. 예를 들어, $\displaystyle f ( x ) = x^{3}$이면 구간 $\displaystyle ( - 1 , 1 )$의 모든 $\displaystyle x_{1} , x_{2} ( x_{1} < x_{2} )$에 대해

$\displaystyle \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{x_2^3-x_1^3}{x_2-x_1}=x_2^2+x_1x_2+x_1^2>0$.

하지만, $\displaystyle f^{\prime} ( 0 ) = 0$.

[논제 I-3]

정답: ②

$\displaystyle f ( - 1 ) = f ( 1 ) = 0$이므로 롤의 정리에 의해 $\displaystyle - 1$과 $\displaystyle 1$사이에 적당한 $\displaystyle c$가 존재해 $\displaystyle f^{\prime} ( c ) = 0$이다. 그리고 $\displaystyle f^{\prime \prime} ( x ) \leq 0$이므로 $\displaystyle f^{\prime} ( x )$는 구간 $\displaystyle ( - 1 , 1 )$에서 증가하지 않는 함수이다. $\displaystyle c$가 $\displaystyle - 1$과 $\displaystyle 1$ 사이에 있고 $\displaystyle f^{\prime} ( x )$가 증가하지 않으므로 $\displaystyle f^{\prime} ( 1 ) \leq 0$임을 알 수 있다. 하지만 $\displaystyle f^{\prime} ( 1 ) = 0$이 될 수는 없다. 만약 $\displaystyle f^{\prime} ( 1 ) = 0$이라면 $\displaystyle f^{\prime} ( x )$가 구간 $\displaystyle ( - 1 , 1 )$에서 증가하지 않는 함수라는 사실로부터 구간 $\displaystyle ( - 1 , 1 )$의 모든 $\displaystyle x$에 대해 $\displaystyle f^{\prime} ( x ) \geq 0$임을 알 수 있다. 즉, $\displaystyle f ( x )$는 감소하지 않는 함수이다. 그런데 $\displaystyle f ( - 1 ) = f ( 1 ) = 0$이므로 $\displaystyle f ( x )$는 $\displaystyle [ - 1 , 1 ]$에서 상수함수가 되어야 한다. 이 구간에서 $\displaystyle f ( x )$가 상수함수가 아니므로 $\displaystyle f^{\prime} ( 1 ) < 0$이다.

[논제 I-4]

만약 $\displaystyle ( - 1 , 1 )$의 적당한 점 $\displaystyle x_{0}$에서 $\displaystyle f ( - 1 ) \geq f ( x_{0} )$라고 하자. 그러면 평균값 정리에 의해

$\displaystyle f^{\prime} ( c ) = \frac{{f ( x_{0} ) - f ( - 1 )}}{x_{0} - ( - 1 )}$

인 $\displaystyle c$가 $\displaystyle - 1$과 $\displaystyle x_{0}$ 사이에 존재한다. $\displaystyle f ( - 1 ) \geq f ( x_{0} )$이므로 $\displaystyle f^{\prime} ( c ) \leq 0$이다. 한편, 모든 실수 $\displaystyle x$에 대해 $\displaystyle f^{\prime \prime} ( x ) \leq 0$이므로 $\displaystyle f^{\prime} ( x )$는 증가하지 않는 함수이다. $\displaystyle f^{\prime} ( c ) \leq 0$이고 $\displaystyle f^{\prime} ( x )$는 증가하지 않으므로 닫힌 구간 $\displaystyle [ c , 1 ]$의 모든 $\displaystyle x$에 대해 $\displaystyle f^{\prime} ( c ) \leq 0$이다. 즉, 함수 $\displaystyle f ( x )$는 $\displaystyle x_{0}$을 포함하는 구간 $\displaystyle [ c , 1 ]$에서 증가하지 않는 함수이다. 따라서 $\displaystyle f ( x_{0} ) \geq f ( 1 )$이고, 이 부등식과 $\displaystyle f ( - 1 ) \geq f ( x_{0} )$으로부터 $\displaystyle - 1 = f ( - 1 ) \geq f ( x_{0} ) \geq f ( 1 ) = 1$을 얻는데, 이는 모순이다. 그러므로 구간 $\displaystyle ( - 1 , 1 )$의 모든 $\displaystyle x$에서 $\displaystyle f ( - 1 ) < f ( x )$이다.Correction. 이 문장의 $\displaystyle f^{\prime}(c)\le0$은 $\displaystyle f^{\prime}(x)\le0$을 뜻한다. $\displaystyle x\ge c$에서 도함수가 증가하지 않으므로 $\displaystyle f^{\prime}(x)\le f^{\prime}(c)\le0$이다.