자연계열 1-2~4번

다음 제시문을 읽고 논제에 답하시오.(60점)

[가]

실수는 $\displaystyle \frac{1}{2}$, $\displaystyle \frac{2}{3}$와 같이 정수의 비로 나타낼 수 있는 유리수와 $\displaystyle \sqrt{2}$, $\displaystyle e$, $\displaystyle \pi$와 같이 정수의 비로 나타낼 수 없는 무리수로 분류된다. 유리수 전체의 집합은 덧셈, 뺄셈, 곱셈에 대하여 닫혀 있고, 0으로 나누는 것을 제외하면 나눗셈에 대하여도 닫혀 있다.

탄젠트 함수는 유리수와 무리수에 대한 흥미로운 성질을 가지고 있다. 1761년 람베르트(Lambert)는 $\displaystyle x$가 0이 아닌 유리수일 때, $\displaystyle \tan x$는 무리수가 된다는 것을 증명하였다.

[나]

유클리드 평면에서 원은 크기와 관계없이 언제나 닮은 도형이다. 따라서 원의 지름에 대한 둘레의 비는 언제나 일정하며, 이를 원주율($\displaystyle \pi$)이라 한다. 고대의 여러 문화에서 원주율의 값으로 3이 쓰였다. 고대 메소포타미아에서도 원주율을 3으로 계산하였고, 고대 중국의 수학책인 ‘구장산술’에서도 원주율로 3을 제시하였다.

한편 기원전 3세기 고대 그리스 수학자 아르키메데스는 매우 많은 변을 갖는 다각형이 임의의 원에 내접하는 경우와 외접하는 경우를 비교하여 원주율을 계산하였다. 즉, 임의의 원의 둘레는 그것에 외접하는 다각형의 둘레보다 짧고 내접하는 다각형보다 길다. 이때 다각형의 변이 많아질수록 외접하는 경우와 내접하는 경우의 둘레 차는 작아지므로 원의 둘레에 근사하게 된다. 아르키메데스는 정 96각형을 이용하여 $\displaystyle \pi$의 값을 계산하였다.

또한 중국의 삼국시대 위나라의 수학자 유휘는 ‘구장산술’의 내용에 증명을 추가하고 삼각비의 기초 개념을 추가하여 ‘해도산경’이란 책을 만들었다. 또한 유휘는 원에 정 192각형을 내접시켜서 삼각비를 이용하여 $\displaystyle \pi$의 근삿값으로 $\displaystyle \pi \approx 3.141024$를 계산하였다.

[다]

원주율의 계산은 아르키메데스가 원을 내접/외접 다각형으로 근사한 이후 약 2천 년간 그와 유사한 기하학적 방법의 개선을 통하여 발전하였다. 16세기말 비에트(Viete)는 정육각형의 변을 16회 거듭 분할하여 $\displaystyle \pi$의 값으로 $\displaystyle 3.1415926535$<$\displaystyle \pi$<$\displaystyle 3.1415926537$을 얻었다. 아르키메데스가 정육각형에서 3<$\displaystyle \pi$<$\displaystyle 3.464$를 얻고 이를 4회 거듭 분할하여 만든 정 96각형에서 $\displaystyle 3.14084$<$\displaystyle \pi$<$\displaystyle 3.14286$을 얻은 것과 비교할 때 $\displaystyle \pi$의 정밀도를 높이기 위하여 많은 계산이 필요함을 알 수 있다.

원주율을 계산하는 효율적인 방법은 이후 미적분학과 삼각함수의 등장에 힘입은 바가 크다. 18세기 초 마친(Machin)은 탄젠트 함수의 성질을 이용하여 $\displaystyle \frac{{\pi}}{4} = 4 \left( \frac{{1}}{5} - \frac{{1}}{3 \times 5^{3}} + \frac{{1}}{5 \times 5^{5}} - . . . . \right) - \left( \frac{{1}}{239} - \frac{{1}}{3 \times 239^{3}} + \frac{{1}}{5 \times 239^{5}} - . . . . \right)$를 얻고 이를 이용하여 $\displaystyle \pi$의 값을 소수점 이하 100자리까지 계산할 수 있었다.

<논제1> 제시문 [가], [나], [다]를 읽고 다음 질문에 답하시오.[60점]

(2) $\displaystyle y = \sqrt{1 - x^{2}}$, $\displaystyle y = 0$, $\displaystyle x = 0$으로 둘러싸인 부채꼴이 있다. 이때 부채꼴의 중심을 O(0,0), 양 끝점을 A(1,0), B(0,1)라 하자. 그리고 호AB에 두 점 C$\displaystyle \left( \frac{{1}}{\sqrt{2}} , \frac{{1}}{\sqrt{2}} \right)$와 D가 있어 오각형 OACDB를 만든다. 오각형 OACDB의 넓이를 부채꼴 OAB의 넓이인 $\displaystyle \frac{\pi}{4}$의 근삿값이라고 할 수 있다. 오각형 넓이의 4배를 $\displaystyle \pi_{1}$이라 할 때, $\displaystyle \pi_{1}$이 $\displaystyle \pi$에 가장 가까울 때의 D의 좌표를 구하고 그 과정을 논술하시오.(15점)

(3) 호AB에 두 점 E($\displaystyle \cos a , \sin a$)와 F가 있어 오각형 OAEFB를 만든다. (2)와 마찬가지로 오각형 OAEFB의 넓이를 이용하여 $\displaystyle \pi$의 근삿값을 구할 수 있다. F의 위치에 따라 오각형의 넓이가 변할 때, 이 오각형 넓이의 최댓값을 $\displaystyle a$의 식으로 표현하시오. 그리고 이 식의 4배를 $\displaystyle \pi_{2}$라 할 때, $\displaystyle \pi_{2}$가 $\displaystyle \pi$에 가장 가까울 때의 $\displaystyle a$와 $\displaystyle \pi_{2}$ 값을 구하고 그 과정을 논술하시오.(15점)

(4) 호AB에 두 점 G, H가 있어 오각형 OAGHB를 만든다. 이때 점 G와 H는 직선 $\displaystyle y = x$에 대하여 대칭이다. 점 C$\displaystyle \left( \frac{{1}}{\sqrt{2}} , \frac{{1}}{\sqrt{2}} \right)$, G, H에서의 접선을 각각 $\displaystyle l_{C} , l_{G} , l_{H}$라고 하자. 직선 $\displaystyle l_{C} , l_{G} , l_{H}$와 $\displaystyle x = 0$, $\displaystyle y = 0$로 둘러싸인 오각형의 넓이는 부채꼴 넓이의 근삿값이 될 수 있다. 이 오각형 넓이의 4배를 $\displaystyle \pi_{3}$라 하자. $\displaystyle l_{C}$와 $\displaystyle l_{G}$의 교점을 M이라 하고 각 GOM을 $\displaystyle b$라 하면 $\displaystyle \pi_{3}$을 $\displaystyle b$의 식으로 나타낼 수 있다. $\displaystyle \pi$에 가장 가까운 $\displaystyle \pi_{3}$ 값을 구하고 그 과정을 논술하시오. 그리고 $\displaystyle \pi_{2}$와 $\displaystyle \pi_{3}$중 $\displaystyle \pi$에 더 가까운 값을 찾고 그 근거를 서술하시오.(단, $\displaystyle \sqrt{2} \approx 1.41 , \sqrt{3} \approx 1.73 , \sqrt{5} \approx 2.24$)(20점)