의학계 1번

논제I-(1)

삼각형 OAB에서 점 A와 점 B는 원주에 있는 점들이므로, 중심 O와 두 점의 중점을 지나는 직선을 $\displaystyle x$축으로 하는 $\displaystyle xy$좌표를 왼쪽 그림과 같이 생각할 수 있다. 중심 O와 선분 AB와의 거리를 $\displaystyle x$라고 하면, 삼각형 OAB의 넓이는 $\displaystyle x\sqrt{r^2-x^2}$이다. 이 때, 삼각형을 이루는 $\displaystyle x$의 범위는 $\displaystyle 0<x<r$이다. 이 넓이를 $\displaystyle x$에 대해서 미분하면, $\displaystyle \frac{r^2-2x^2}{\sqrt{r^2-x^2}}$이고, $\displaystyle x<\frac r{\sqrt2}$이면 양, $\displaystyle x>\frac r{\sqrt2}$이면 음이므로, $\displaystyle x=\frac r{\sqrt2}$일 때, 최대가 되고 삼각형 OAB의 최대넓이는 $\displaystyle \frac{r^2}{2}$이 된다.

삼각형 PCD의 최대넓이를 구하는 데에 있어서, 동일한 길이의 선분 CD가 주어져 있을 때, 가장 큰 넓이를 가지게 되려면, 점 P와 선분 CD와의 거리가 가장 크게 되기 위하여 위의 그림처럼 삼각형 PCD가 이등변삼각형이 되어야 한다. 따라서, 위의 그림에서와 같이 점 P의 좌표를 $\displaystyle (-p,0)$이라고 하고, 삼각형 OAB의 최대넓이를 구하는 경우와 동일한 방법으로 이등변 삼각형 PCD의 최대 넓이를 구하는 것으로 충분하다.

이 때, 삼각형 PCD의 넓이는 $\displaystyle (x+p)\sqrt{r^2-x^2}$이고, $\displaystyle -r<x<0$인 경우에는 넓이가 더 큰 경우가 존재하므로, $\displaystyle x$의 범위를 $\displaystyle 0\le x<r$로 하면 된다. 이 넓이를 $\displaystyle x$에 대하여 미분하면, $\displaystyle \frac{r^2-2x^2-px}{\sqrt{r^2-x^2}}$이고, $\displaystyle x<\frac{-p+\sqrt{p^2+8r^2}}{4}$이면 양, $\displaystyle x>\frac{-p+\sqrt{p^2+8r^2}}{4}$이면 음이므로, $\displaystyle x=\frac{-p+\sqrt{p^2+8r^2}}{4}$일 때, 최대가 되고 삼각형 PCD의 최대넓이는 $\displaystyle \frac{3p+\sqrt{p^2+8r^2}}{4}\sqrt{\frac{r^2}{2}-\frac{p^2}{8}+\frac p8\sqrt{p^2+8r^2}}$이 된다.

논제I-(2)

$\displaystyle \frac{S_2(t)}{S_1(t)}=\frac12\left(3\frac{g(t)}{f(t)}+\sqrt{\left\{\frac{g(t)}{f(t)}\right\}^2+8}\right)\sqrt{\frac12-\frac18\left\{\frac{g(t)}{f(t)}\right\}^2+\frac18\frac{g(t)}{f(t)}\sqrt{\left\{\frac{g(t)}{f(t)}\right\}^2+8}}$이다. $\displaystyle 0\le\frac{g(t)}{f(t)}<1$이므로, $\displaystyle 0\le\lim_{t\to\infty}\frac{g(t)}{f(t)}\le1$이다.

함수 $\displaystyle F(x)$를 $\displaystyle F(x)=\frac{3x+\sqrt{x^2+8}}{2}\sqrt{\frac12-\frac{x^2}{8}+\frac x8\sqrt{x^2+8}}$으로 $\displaystyle 0\le x\le1$에서 정의하자. $\displaystyle G(x)=\frac12-\frac{x^2}{8}+\frac x8\sqrt{x^2+8}$이라고 하면, $\displaystyle G'(x)=\frac{(x-\sqrt{x^2+8})^2}{8\sqrt{x^2+8}}>0$이므로, $\displaystyle F(x)$는 증가함수인 $\displaystyle \frac{3x+\sqrt{x^2+8}}{2}$과 $\displaystyle \sqrt{G(x)}$의 곱이므로, $\displaystyle 0\le x\le1$에서 증가함수이다.

그러므로, $\displaystyle 1=F(0)\le F\left(\lim_{t\to\infty}\frac{g(t)}{f(t)}\right)\le F(1)=\frac{3\sqrt3}{4}$가 되고,Correction. $\displaystyle 3\sqrt3/4$는 $\displaystyle 3\sqrt3/2$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

함수 $\displaystyle F(x)$는 연속함수이므로, 사이값 정리에 의해서, 임의의 $\displaystyle 1<k<\frac{3\sqrt3}{4}$에 대하여, $\displaystyle F(c)=k$인 $\displaystyle 0<c<1$가 존재한다. 따라서, $\displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac{g(t)}{f(t)}=c$인 두 함수 $\displaystyle f(t)$와 $\displaystyle g(t)$를 선택하면 원하는 결과를 얻게 된다. 예를 들면, 연속함수 $\displaystyle f(t)$에 대해서, 함수 $\displaystyle g(t)$를 $\displaystyle g(t)=cf(t)$라고 놓으면 된다.Correction. $\displaystyle 3\sqrt3/4$는 $\displaystyle 3\sqrt3/2$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.Comment. 대학 예시답안의 $\displaystyle g(t)=cf(t)$ ($\displaystyle 0<c<1$)는 넓이비의 극한이 범위 내부의 값인 경우만 다룬다. 양 끝값 $\displaystyle 1$, $\displaystyle \frac{3\sqrt3}{2}$를 극한값으로 갖는 함수도 제시해야 한다.$\displaystyle t\ge0$에서 $\displaystyle f(t)=t+2$로 두면 다음 두 경우가 가능하다.① 넓이비의 극한값이 1인 경우$\displaystyle g(t)=1+\frac1{t+2}$$\displaystyle \frac{g(t)}{f(t)}=\frac1{t+2}+\frac1{(t+2)^2}\longrightarrow0$$\displaystyle \therefore\quad\frac{S_2(t)}{S_1(t)}\longrightarrow1$② 넓이비의 극한값이 $\displaystyle \frac{3\sqrt3}{2}$인 경우$\displaystyle g(t)=t+1$$\displaystyle \frac{g(t)}{f(t)}=1-\frac1{t+2}\longrightarrow1$$\displaystyle \therefore\quad\frac{S_2(t)}{S_1(t)}\longrightarrow\frac{3\sqrt3}{2}$두 경우 모두 $\displaystyle f,g$는 연속인 비상수 함수이고 $\displaystyle 0<g(t)<f(t)$를 만족한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

논제I-(3)

논제I-(1)의 답안으로부터 최대넓이를 갖는 삼각형 OAB는 직각이등변 삼각형이 됨을 알 수 있다. 그러므로 아래 그림과 같이 그 삼각형을 제4사분면에 위치하도록 그릴 수 있다. 그러면 점 P의 좌표는 $\displaystyle \left(-\frac p{\sqrt2},\frac p{\sqrt2}\right)$가 된다. 그러면, 최대 넓이를 갖는 삼각형 PCD는 선분 CD가 선분 OP와 교차하는 경우와 그렇지 않은 경우의 2가지 경우로 나누어 생각해 볼 수 있다.

먼저, 선분 CD가 선분 OP와 교차하는 경우에, 최대넓이를 갖는 삼각형 PCD는 논제I-(1)에서와 같이 이등변 삼각형으로 선분 CD가 선분 OP에 수직이면서 중점 O를 지나는 원의 지름이 되는 삼각형이 됨을 알 수 있다. 그 때의 넓이는 $\displaystyle rp$가 된다.

두 번째 경우에서는, 선분 CD의 길이가 동일할 때, 그 선분과 점 P와의 거리가 가장 큰 경우는 점 C 또는 점 D가 삼각형 OAB의 한 꼭짓점과 만날 때이므로, 그 점을 왼쪽 그림과 같이 $\displaystyle (r,0)$으로 가정해도 무방하다. 그러므로 삼각형 PCD의 넓이가 최대가 되도록 점 $\displaystyle (x,y)$만을 정하면 된다. (물론, 여기에서 $\displaystyle y=\sqrt{r^2-x^2}$이다.)

세 점의 좌표가 모두 있으므로, 점과 직선과의 거리를 이용하여 삼각형 PCD의 넓이를 구하면, $\displaystyle \frac12\left|ry+\frac p{\sqrt2}(x+y-r)\right|$이 된다. 선분 CD가 선분 OP와 교차하지 않을 때까지, 즉 $\displaystyle -\frac{r^2p\sqrt2+r^3}{r^2+p^2+\sqrt2rp}<x<r$인 경우, $\displaystyle ry+\frac p{\sqrt2}(x+y-r)>0$이므로, 삼각형 PCD의 넓이는 $\displaystyle \frac12\left(r\sqrt{r^2-x^2}+\frac p{\sqrt2}(x+\sqrt{r^2-x^2}-r)\right)$이고, $\displaystyle x$에 대하여 미분하면, $\displaystyle \frac12\left(-\frac{rx}{\sqrt{r^2-x^2}}+\frac p{\sqrt2}-\frac p{\sqrt2}\frac x{\sqrt{r^2-x^2}}\right)=\frac{p\sqrt{r^2-x^2}-(\sqrt2r+p)x}{2\sqrt2\sqrt{r^2-x^2}}$이 된다. $\displaystyle x$가 음수이면 미분한 값이 양수이므로 넓이는 항상 증가하므로, $\displaystyle x\ge0$에 대해서만 고려하면 된다. $\displaystyle x$가 $\displaystyle \frac{rp}{\sqrt{2r^2+2\sqrt2rp+2p^2}}$을 기준으로 작으면 양, 크면 음이므로, $\displaystyle x=\frac{rp}{\sqrt{2r^2+2\sqrt2rp+2p^2}}$일 때 최대가 되고, 이 때 삼각형 PCD의 최대넓이는 $\displaystyle \frac r2\sqrt{r^2+\sqrt2rp+p^2}-\frac{rp}{2\sqrt2}$이 된다.

두 경우를 종합하면, $\displaystyle \lambda=\sqrt{4+2\sqrt2}-1/\sqrt2$이라고 할 때, $\displaystyle 0\le p\le r/\lambda$이면 최대넓이는 $\displaystyle \frac r2\sqrt{r^2+\sqrt2rp+p^2}-\frac{rp}{2\sqrt2}$이고, $\displaystyle r/\lambda<p<r$이면 $\displaystyle rp$가 됨을 알 수 있다.

논제I-(4)

$\displaystyle p$가 상수이므로, 반지름 $\displaystyle r$이 충분히 크다고 하면, $\displaystyle p$는 부등식 $\displaystyle 0\le p\le r/\lambda$을 만족할 수밖에 없다. 따라서 충분히 큰 반지름 $\displaystyle r$에 대하여, $\displaystyle S_2=\frac{3p+\sqrt{p^2+8r^2}}{4}\sqrt{\frac{r^2}{2}-\frac{p^2}{8}+\frac p8\sqrt{p^2+8r^2}}$이고 $\displaystyle S_3=\frac r2\sqrt{r^2+\sqrt2rp+p^2}-\frac{rp}{2\sqrt2}$이다. 따라서

$\displaystyle \lim_{r\to\infty}\frac{S_3}{S_2}=\lim_{r\to\infty}\frac{\frac r2\sqrt{r^2+\sqrt2rp+p^2}-\frac{rp}{2\sqrt2}}{\frac{3p+\sqrt{p^2+8r^2}}{4}\sqrt{\frac{r^2}{2}-\frac{p^2}{8}+\frac p8\sqrt{p^2+8r^2}}}$를 계산하면 된다. $\displaystyle \lim_{r\to\infty}\frac pr=0$이므로, $\displaystyle \lim_{r\to\infty}\frac{S_3}{S_2}$는 수렴하고, 그 극한값은 $\displaystyle \frac{\frac12}{\frac{2\sqrt2}{4}\sqrt{\frac12}}=1$이다.