자연계열 1번

[논제 I-1]

명제의 대우를 이용하면, $\displaystyle \tan\frac{\pi}{4}=1$은 유리수이므로 제시문 [가]의 탄젠트 함수의 성질에 의하여 $\displaystyle \frac{\pi}{4}$는 무리수이다.

만약 $\displaystyle \pi$가 유리수이면 유리수 집합은 곱셈에 대하여 닫혀 있으므로 $\displaystyle \frac14\times\pi$도 유리수이다.

이것은 $\displaystyle \frac{\pi}{4}$는 무리수라는 사실에 모순이므로 $\displaystyle \pi$는 무리수이다.

[논제 I-2]

$\displaystyle \pi_1$이 $\displaystyle \pi$에 가장 가깝게 되려면 오각형의 넓이가 최대가 되어야 한다.

그러면 오각형의 넓이는 삼각형OAC, 삼각형OCB, 삼각형BCD의 넓이의 합이다.

삼각형OAC, 삼각형OCB의 넓이는 각각 $\displaystyle \frac12\sin\frac\pi4=\frac{\sqrt2}{4}$이다.

삼각형BCD의 넓이가 최대가 되는 경우는 변BC에서 D까지의 길이인 높이가 최대가 될 때이다. 이는 직선OD가 각BOC를 이등분하는 경우이므로 D의 좌표는 $\displaystyle \left(\cos\left(\frac\pi4+\frac\pi8\right),\sin\left(\frac\pi4+\frac\pi8\right)\right)=\left(\cos\frac{3\pi}{8},\sin\frac{3\pi}{8}\right)$이다.

[논제 I-3]

오각형의 넓이는 삼각형OAE, 삼각형OEB, 삼각형BEF의 넓이의 합이다.

논제 I-2에서와 마찬가지로 각OEF과 각OFB가 같은 경우 넓이가 최대가 된다.

따라서 각OEF, 각OFB는 모두 $\displaystyle \frac12\left(\frac\pi2-a\right)$이다.Correction. 각 $\displaystyle OEF$, $\displaystyle OFB$는 각각 각 $\displaystyle EOF$, $\displaystyle FOB$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

그러면 넓이의 최댓값은 $\displaystyle A(a)=\frac12\sin a+2\times\frac12\sin\frac12\left(\frac\pi2-a\right)=\frac12\sin a+\sin\left(\frac\pi4-\frac a2\right)$.

$\displaystyle \pi_2(a)=4A(a)=2\sin a+4\sin\left(\frac\pi4-\frac a2\right)$이다.

$\displaystyle \pi_2$가 $\displaystyle \pi$에 가장 가까울 때는 $\displaystyle A(a)$가 최대가 될 때이다.

$\displaystyle A'(a)=\frac12\cos a-\frac12\cos\left(\frac\pi4-\frac a2\right),\ A''(a)=-\frac12\sin a-\frac14\sin\left(\frac\pi4-\frac a2\right)$이고

$\displaystyle 0<a<\frac\pi2$이므로 $\displaystyle A''(a)<0$이다. 따라서 $\displaystyle A'(a)=0$인 $\displaystyle a=\frac\pi4-\frac a2$, 즉 $\displaystyle a=\frac\pi6$일 때 최대가 된다.

$\displaystyle A\left(\frac\pi6\right)=\frac34$이므로 $\displaystyle \pi$에 가장 가까운 $\displaystyle \pi_2$는 3이다.

[논제 I-4]

$\displaystyle y=0$과 $\displaystyle l_G$의 교점을 N이라고 하면, 삼각형COM과 삼각형GOM는 합동이므로 각COM과 각GOM은 $\displaystyle b$이고, 각GON은 $\displaystyle \frac\pi4-2b$이다.

오각형의 넓이는 사각형ONMC의 넓이의 2배이고, 사각형ONMC의 넓이는 삼각형COM, 삼각형GOM, 삼각형MON 넓이의 합이다.

그러면 넓이는 $\displaystyle B(b)=2\left(2\times\frac12\tan b+\frac12\tan\left(\frac\pi4-2b\right)\right)=\tan\left(\frac\pi4-2b\right)+2\tan b$

마찬가지로 $\displaystyle \pi_3(b)=4B(b)$이고 이 오각형은 부채꼴을 포함하고 있으므로 오각형의 넓이가 최소가 되는 경우 $\displaystyle \pi_3$가 $\displaystyle \pi$에 가장 가깝게 된다.

$\displaystyle \begin{aligned}B'(b)&=\sec^2\left(\frac\pi4-2b\right)(-2)+2\sec^2b=-2\sec^2\left(\frac\pi4-2b\right)+2\sec^2b\\&=2\left(\sec b-\sec\left(\frac\pi4-2b\right)\right)\left(\sec b+\sec\left(\frac\pi4-2b\right)\right)\end{aligned}$

따라서 $\displaystyle b=\frac\pi4-2b$, 즉 $\displaystyle b=\frac\pi{12}$일 때 극값을 갖는다.

$\displaystyle 0<b<\frac\pi{12}$에서 $\displaystyle B'(b)<0$이고, $\displaystyle \frac\pi{12}<b<\frac\pi4$에서 $\displaystyle B'(b)>0$이므로 $\displaystyle b=\frac\pi{12}$에서 최소가 된다.

$\displaystyle B\left(\frac\pi{12}\right)=3\tan\frac\pi{12}=3\sqrt{\frac{1-\cos\frac\pi6}{1+\cos\frac\pi6}}=3\sqrt{\frac{2-\sqrt3}{2+\sqrt3}}=3(2-\sqrt3)$이므로

$\displaystyle \pi$에 가장 가까운 $\displaystyle \pi_3$는 $\displaystyle 12(2-\sqrt3)\approx12(2-1.73)=3.24$이다.

따라서 $\displaystyle \pi_3$가 $\displaystyle \pi_2=3$보다 $\displaystyle \pi$에 더 가깝게 된다.