자연계열 1-1번

[논제 I-1] (1)함수 $\displaystyle f(x)=x^2$의 도함수는 $\displaystyle f^{\prime}(x)=2x$이므로, 곡선 $\displaystyle y=x^2$ 위의 점 $\displaystyle P\left(\frac{\sqrt3}{2},\frac34\right)$에서 접하는 접선을 $\displaystyle l$이라 하면 기울기는 $\displaystyle f\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)=\sqrt3$이다. 따라서 접선 $\displaystyle l$의 방정식은 $\displaystyle y-\frac34=\sqrt3\left(x-\frac{\sqrt3}{2}\right)$이고 이는 원의 접선이기도 하다. 그러므로 원의 중심 $\displaystyle C(0,b)$는 $\displaystyle P\left(\frac{\sqrt3}{2},\frac34\right)$를 지나고 $\displaystyle l$에 수직인 직선 $\displaystyle m$이 $\displaystyle y$축과 만나는 점이다.Correction. $\displaystyle f(\sqrt3/2)$는 $\displaystyle f^{\prime}(\sqrt3/2)$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

$\displaystyle m$의 방정식은 $\displaystyle y-\frac34=-\frac1{\sqrt3}\left(x-\frac{\sqrt3}{2}\right)$이고, $\displaystyle m$의 $\displaystyle y$절편은 $\displaystyle \frac54$이다.따라서 $\displaystyle b=\frac54$이고 $\displaystyle C\left(0,\frac54\right)$이고, 원의 반지름은 $\displaystyle C\left(0,\frac54\right)$와 $\displaystyle P\left(\frac{\sqrt3}{2},\frac34\right)$사이의 거리인 $\displaystyle r=1$이다.

[논제 I-1] (2)원의 중심 $\displaystyle C(0,b)$와 곡선 $\displaystyle y=x^2$ 위의 점들 사이의 거리 중 최소값이 원의 반지름 $\displaystyle r$이 된다.Comment. 원이 포물선에 접한다는 조건만으로 중심에서 포물선까지의 최단거리가 반지름과 같다고 할 수는 없다. 중심이 $\displaystyle (0,1)$이고 반지름이 $\displaystyle 1$인 원은 원점에서 접하면서 $\displaystyle (-1,1)$, $\displaystyle (1,1)$에서도 만난다. 접점이 원점인 경우를 따로 확인해야 한다.따라서, 곡선 위의 점 $\displaystyle Q(x,x^2)$에서 $\displaystyle C(0,b)$까지의 거리 $\displaystyle \overline{CQ}=\sqrt{x^2+(x^2-b)^2}$에 대하여, $\displaystyle f(x)=\overline{CQ}^{\,2}=x^2+(x^2-b)^2$라 하면 $\displaystyle f(x)$의 최솟값이 $\displaystyle r^2$이다.

도함수 $\displaystyle f^{\prime}(x)=4x\left(x^2-b+\frac12\right)$에 대하여,

a) $\displaystyle 0<b\le\frac12$일 때, $\displaystyle f^{\prime}(x)=4x\left(x^2-b+\frac12\right)=0$인 경우는 $\displaystyle x=0$뿐이며,$\displaystyle x<0$일 때 $\displaystyle f^{\prime}(x)<0$이고, $\displaystyle x>0$일 때 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$이다. 그러므로 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=0$일 때 최솟값 $\displaystyle f(0)=b^2$을 가진다. 즉, $\displaystyle r^2=f(0)=b^2$이고 $\displaystyle b,r\ge0$이므로, $\displaystyle b=r$이다.따라서, $\displaystyle 0<r\le\frac12$인 경우 원과 곡선 $\displaystyle y=x^2$은 $\displaystyle x=0$일 때 한점, $\displaystyle O(0,0)$에서 만난다.

b) $\displaystyle b>\frac12$일 때, $\displaystyle f^{\prime}(x)=4x\left(x^2-b+\frac12\right)=0$인 경우는 $\displaystyle x=0$과 $\displaystyle x=\pm\sqrt{b-\frac12}$이다.

위의 증감표에 의해 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=\pm\sqrt{b-\frac12}$에서 최솟값 $\displaystyle f\left(\pm\sqrt{b-\frac12}\right)=b-\frac14$을 가지고,$\displaystyle r^2=f\left(\pm\sqrt{b-\frac12}\right)=b-\frac14$이다.따라서, $\displaystyle b>\frac12$인 경우는 $\displaystyle r^2>\frac14$, 즉 $\displaystyle r>\frac12$인 경우이며, 이때 원과 곡선 $\displaystyle y=x^2$은 두 점 $\displaystyle \left(\pm\sqrt{r^2-\frac14},r^2-\frac14\right)$에서 만난다.