자연계열 1번

[논제 I-1] (1)함수 $\displaystyle f(x)=x^2$의 도함수는 $\displaystyle f^{\prime}(x)=2x$이므로, 곡선 $\displaystyle y=x^2$ 위의 점 $\displaystyle P\left(\frac{\sqrt3}{2},\frac34\right)$에서 접하는 접선을 $\displaystyle l$이라 하면 기울기는 $\displaystyle f\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)=\sqrt3$이다. 따라서 접선 $\displaystyle l$의 방정식은 $\displaystyle y-\frac34=\sqrt3\left(x-\frac{\sqrt3}{2}\right)$이고 이는 원의 접선이기도 하다. 그러므로 원의 중심 $\displaystyle C(0,b)$는 $\displaystyle P\left(\frac{\sqrt3}{2},\frac34\right)$를 지나고 $\displaystyle l$에 수직인 직선 $\displaystyle m$이 $\displaystyle y$축과 만나는 점이다.Correction. $\displaystyle f(\sqrt3/2)$는 $\displaystyle f^{\prime}(\sqrt3/2)$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

$\displaystyle m$의 방정식은 $\displaystyle y-\frac34=-\frac1{\sqrt3}\left(x-\frac{\sqrt3}{2}\right)$이고, $\displaystyle m$의 $\displaystyle y$절편은 $\displaystyle \frac54$이다.따라서 $\displaystyle b=\frac54$이고 $\displaystyle C\left(0,\frac54\right)$이고, 원의 반지름은 $\displaystyle C\left(0,\frac54\right)$와 $\displaystyle P\left(\frac{\sqrt3}{2},\frac34\right)$사이의 거리인 $\displaystyle r=1$이다.

[논제 I-1] (2)원의 중심 $\displaystyle C(0,b)$와 곡선 $\displaystyle y=x^2$ 위의 점들 사이의 거리 중 최소값이 원의 반지름 $\displaystyle r$이 된다.Comment. 원이 포물선에 접한다는 조건만으로 중심에서 포물선까지의 최단거리가 반지름과 같다고 할 수는 없다. 중심이 $\displaystyle (0,1)$이고 반지름이 $\displaystyle 1$인 원은 원점에서 접하면서 $\displaystyle (-1,1)$, $\displaystyle (1,1)$에서도 만난다. 접점이 원점인 경우를 따로 확인해야 한다.따라서, 곡선 위의 점 $\displaystyle Q(x,x^2)$에서 $\displaystyle C(0,b)$까지의 거리 $\displaystyle \overline{CQ}=\sqrt{x^2+(x^2-b)^2}$에 대하여, $\displaystyle f(x)=\overline{CQ}^{\,2}=x^2+(x^2-b)^2$라 하면 $\displaystyle f(x)$의 최솟값이 $\displaystyle r^2$이다.

도함수 $\displaystyle f^{\prime}(x)=4x\left(x^2-b+\frac12\right)$에 대하여,

a) $\displaystyle 0<b\le\frac12$일 때, $\displaystyle f^{\prime}(x)=4x\left(x^2-b+\frac12\right)=0$인 경우는 $\displaystyle x=0$뿐이며,$\displaystyle x<0$일 때 $\displaystyle f^{\prime}(x)<0$이고, $\displaystyle x>0$일 때 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$이다. 그러므로 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=0$일 때 최솟값 $\displaystyle f(0)=b^2$을 가진다. 즉, $\displaystyle r^2=f(0)=b^2$이고 $\displaystyle b,r\ge0$이므로, $\displaystyle b=r$이다.따라서, $\displaystyle 0<r\le\frac12$인 경우 원과 곡선 $\displaystyle y=x^2$은 $\displaystyle x=0$일 때 한점, $\displaystyle O(0,0)$에서 만난다.

b) $\displaystyle b>\frac12$일 때, $\displaystyle f^{\prime}(x)=4x\left(x^2-b+\frac12\right)=0$인 경우는 $\displaystyle x=0$과 $\displaystyle x=\pm\sqrt{b-\frac12}$이다.

위의 증감표에 의해 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=\pm\sqrt{b-\frac12}$에서 최솟값 $\displaystyle f\left(\pm\sqrt{b-\frac12}\right)=b-\frac14$을 가지고,$\displaystyle r^2=f\left(\pm\sqrt{b-\frac12}\right)=b-\frac14$이다.따라서, $\displaystyle b>\frac12$인 경우는 $\displaystyle r^2>\frac14$, 즉 $\displaystyle r>\frac12$인 경우이며, 이때 원과 곡선 $\displaystyle y=x^2$은 두 점 $\displaystyle \left(\pm\sqrt{r^2-\frac14},r^2-\frac14\right)$에서 만난다.

논제 [I-2] (1)임의의 두 지점의 가로 거리를 $\displaystyle m$, 세로 거리를 $\displaystyle n$이라고 하자.1) $\displaystyle m=0$인 경우서로 다른 두 지점이므로 $\displaystyle n$은 1, 2, 3이 될 수 있으며,(제시문 [마]를 이용하면) 각각의 경우 최단 경로의 수는 1, 1, 1이다.2) $\displaystyle m=1$인 경우$\displaystyle n$은 0, 1, 2, 3이 될 수 있으며, 각각의 경우 최단 경로의 수는 1, 2, 3, 4이다.3) $\displaystyle m=2$인 경우$\displaystyle n$은 0, 1, 2, 3이 될 수 있으며, 각각의 경우 최단 경로의 수는 1, 3, 6, 10이다.3) $\displaystyle m=3$인 경우Correction. $\displaystyle m=3$인 경우의 번호 ‘3)’은 ‘4)’의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle n$은 0, 1, 2, 3이 될 수 있으며, 각각의 경우 최단 경로의 수는 1, 4, 10, 20이다.따라서 최단 경로의 수가 될 수 있는 자연수는 1, 2, 3, 4, 6, 10, 20이다.

논제 [I-2] (2)(1)에서 계산한 결과를 보면, 두 지점 사이 최단 경로의 수가 6 이상인 경우는두 지점의 가로, 세로 거리가 각각 2, 2 또는 2, 3 또는 3, 2 또는 3, 3인 경우이다.1) 2, 2인 경우

가로, 세로가 각각 2, 2인 정사각형이 4개 있으므로 8가지 경우가 있다.이때 지점 A를 제외해야 하므로 A와 B 사이 최단 경로는 제외된다.또한 C와 D 사이 최단 경로의 수는 A를 지나는 경로가 제외되어 5가지이므로,C와 D 사이 최단 경로도 제외된다.따라서 최단 경로의 수가 6 이상인 경우는 6가지이다.2) 2, 3인 경우

가로, 세로가 각각 2, 3인 직사각형이 2개 있으므로 4가지 경우가 있다.1)과 마찬가지로 A와 F 사이 최단 경로는 제외된다.또한 D와 E 사이 최단 경로의 수는 A를 지나는 경로가 제외되어도 9가지이므로,6 이상이 되어 D와 E 사이 최단 경로는 포함된다.따라서 최단 경로의 수가 6 이상인 경우는 3가지이다.3) 3, 2인 경우2, 3인 경우와 마찬가지이므로 3가지이다.4) 3, 3인 경우전체 정사각형에서 A를 포함하지 않는 대각선의 경우 1가지가 있다.이때 최단 경로의 수는 A를 지나는 경로가 제외되어도 19가지이므로 포함된다.따라서 최단 경로의 수가 6 이상인 경우는 1가지이다.

그러므로 최단 경로의 수가 6 이상인 경우는 $\displaystyle 6+3+3+1=13$이고,A를 제외하고 임의의 서로 다른 두 지점을 선택하는 경우의 수는 $\displaystyle \frac{15\times14}{2}=105$이므로,두 지점 사이 최단 경로의 수가 6 이상이 될 확률은 $\displaystyle \frac{13}{105}$이다.