수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.

자연계열 1-2번

경희대 2021학년도 모의 자연계열 1-2번 · mathesis.kr/archive/khu/2021mo/jayeon_1_2

이전 문제
배점30점
예상 소요 시간미공개
다음 문제

문제

[가] 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 x=a\displaystyle x=a에서 미분가능할 때, 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x) 위의 점 P(a,f(a))\displaystyle P(a,f(a))에서의 접선의 방정식은y−f(a)=f′(a)(x−a)\displaystyle y-f(a)=f^{\prime}(a)(x-a)[나] 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 어떤 열린구간에서 미분가능할 때, 그 열린구간에 속하는 모든 x\displaystyle x에 대하여(1) f′(x)>0\displaystyle f^{\prime}(x)>0이면 f(x)\displaystyle f(x)는 그 열린구간에서 증가한다.(2) f′(x)<0\displaystyle f^{\prime}(x)<0이면 f(x)\displaystyle f(x)는 그 열린구간에서 감소한다.[다] 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 미분가능하고 f′(a)=0\displaystyle f^{\prime}(a)=0일 때, x=a\displaystyle x=a의 좌우에서 f′(x)\displaystyle f^{\prime}(x)의 부호가(1) 양에서 음으로 바뀌면 f(x)\displaystyle f(x)는 x=a\displaystyle x=a에서 극대이고, 극댓값 f(a)\displaystyle f(a)를 갖는다.(2) 음에서 양으로 바뀌면 f(x)\displaystyle f(x)는 x=a\displaystyle x=a에서 극소이고, 극솟값 f(a)\displaystyle f(a)를 갖는다.[라] 동시에 일어나지 않는 두 사건에 대하여 다음과 같은 합의 법칙이 성립한다.두 사건 A\displaystyle A, B\displaystyle B가 동시에 일어나지 않을 때, 사건 A\displaystyle A와 사건 B\displaystyle B가 일어나는 경우의 수가 각각 m\displaystyle m, n\displaystyle n이면, 사건 A\displaystyle A 또는 사건 B\displaystyle B가 일어나는 경우의 수는 m+n\displaystyle m+n이다.[마] 일반적으로 같은 것이 있는 순열의 수는 다음과 같다.n\displaystyle n개 중에서 서로 같은 것이 각각 p\displaystyle p개, q\displaystyle q개, ..., r\displaystyle r개 있을 때, n\displaystyle n개를 일렬로 나열하는 순열의 수는n!p!×q!×⋯r!\displaystyle \frac{n!}{p!\times q!\times\cdots r!} (단, p+q+⋯+r=n\displaystyle p+q+\cdots+r=n)

[논제 I] 제시문 [가]~[마]를 읽고 다음 질문에 답하시오.

[논제 Ⅰ-2] [그림 2]와 같이 16개의 교차로 지점이 있는 정사각형 도로망이 있다. 이웃한 두 지점 사이의 거리는 모두 1이다.

그림 2: 열여섯 교차로의 도로망

(1) 임의의 서로 다른 두 교차로 지점을 선택했을 때 두 지점 사이 최단 경로의 수가 될 수 있는 자연수를 모두 구하고, 그 근거를 논술하시오. 예를 들어, 지점 A와 지점 B 사이의 최단 경로의 수는 6이다. (10점)

(2) 도로망에서 지점 A를 지날 수 없다고 가정하자. 지점 A를 제외하고 서로 다른 두 교차로 지점을 선택했을 때 두 지점 사이 최단 경로의 수가 6 이상이 될 확률을 구하고, 그 근거를 논술하시오. (20점)

해설강의 준비중

경희대 2021학년도 모의 자연계열 1-2번 · mathesis.kr/archive/khu/2021mo/jayeon_1_2

논제 [I-2] (1)임의의 두 지점의 가로 거리를 m\displaystyle m, 세로 거리를 n\displaystyle n이라고 하자.1) m=0\displaystyle m=0인 경우서로 다른 두 지점이므로 n\displaystyle n은 1, 2, 3이 될 수 있으며,(제시문 [마]를 이용하면) 각각의 경우 최단 경로의 수는 1, 1, 1이다.2) m=1\displaystyle m=1인 경우n\displaystyle n은 0, 1, 2, 3이 될 수 있으며, 각각의 경우 최단 경로의 수는 1, 2, 3, 4이다.3) m=2\displaystyle m=2인 경우n\displaystyle n은 0, 1, 2, 3이 될 수 있으며, 각각의 경우 최단 경로의 수는 1, 3, 6, 10이다.3) m=3\displaystyle m=3인 경우Correction. m=3\displaystyle m=3인 경우의 번호 ‘3)’은 ‘4)’의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.n\displaystyle n은 0, 1, 2, 3이 될 수 있으며, 각각의 경우 최단 경로의 수는 1, 4, 10, 20이다.따라서 최단 경로의 수가 될 수 있는 자연수는 1, 2, 3, 4, 6, 10, 20이다.

논제 [I-2] (2)(1)에서 계산한 결과를 보면, 두 지점 사이 최단 경로의 수가 6 이상인 경우는두 지점의 가로, 세로 거리가 각각 2, 2 또는 2, 3 또는 3, 2 또는 3, 3인 경우이다.1) 2, 2인 경우

가로 세로 거리가 2인 교차로

가로, 세로가 각각 2, 2인 정사각형이 4개 있으므로 8가지 경우가 있다.이때 지점 A를 제외해야 하므로 A와 B 사이 최단 경로는 제외된다.또한 C와 D 사이 최단 경로의 수는 A를 지나는 경로가 제외되어 5가지이므로,C와 D 사이 최단 경로도 제외된다.따라서 최단 경로의 수가 6 이상인 경우는 6가지이다.2) 2, 3인 경우

가로 세로 거리가 2, 3인 교차로

가로, 세로가 각각 2, 3인 직사각형이 2개 있으므로 4가지 경우가 있다.1)과 마찬가지로 A와 F 사이 최단 경로는 제외된다.또한 D와 E 사이 최단 경로의 수는 A를 지나는 경로가 제외되어도 9가지이므로,6 이상이 되어 D와 E 사이 최단 경로는 포함된다.따라서 최단 경로의 수가 6 이상인 경우는 3가지이다.3) 3, 2인 경우2, 3인 경우와 마찬가지이므로 3가지이다.4) 3, 3인 경우전체 정사각형에서 A를 포함하지 않는 대각선의 경우 1가지가 있다.이때 최단 경로의 수는 A를 지나는 경로가 제외되어도 19가지이므로 포함된다.따라서 최단 경로의 수가 6 이상인 경우는 1가지이다.

그러므로 최단 경로의 수가 6 이상인 경우는 6+3+3+1=13\displaystyle 6+3+3+1=13이고,A를 제외하고 임의의 서로 다른 두 지점을 선택하는 경우의 수는 15×142=105\displaystyle \frac{15\times14}{2}=105이므로,두 지점 사이 최단 경로의 수가 6 이상이 될 확률은 13105\displaystyle \frac{13}{105}이다.

이 문항 오류 제보

첨삭 사례

아직 등록된 첨삭 사례가 없습니다.

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.