의학계 (오후) 1-1번

[논제 I-1] (1) 세 점 $\displaystyle O(0,0),\ A(0,1),\ B(1,0)$을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 생각하자. 한 점 P가 삼각형 OAB 내부에 있으면 P에서 선분 AB까지 거리는 다른 세 변들까지의 거리보다 짧거나 같다. 삼각형 내부의 점들 중 원점까지 거리가 선분 AB까지 거리의 $\displaystyle \sqrt2$배가 되는 점들의 집합을 S라고 하고 곡선 S와 $\displaystyle x$축, $\displaystyle y$축으로 둘러싸인 도형을 T라고 하자. 그러면 T는 도형 R이 1사분면에 속하는 부분이 된다. 삼각형 OAB의 내부의 한 점 $\displaystyle (x,y)$에서 원점까지 거리와 그 점에서 선분 AB까지 거리는 각각 $\displaystyle \sqrt{x^2+y^2},\ \frac{|x+y-1|}{\sqrt2}$이므로, S는$\displaystyle \sqrt{x^2+y^2}=|x+y-1|$를 만족하는 점들의 집합이다. 양변을 제곱하면 $\displaystyle x^2+y^2=x^2+y^2+2xy-2x-2y+1$이고, 정리하면 $\displaystyle 2xy-2x-2y+1=0$를 얻는다. $\displaystyle x\ne1$이므로, 위 식을 $\displaystyle y$에 관하여 정리하면,$\displaystyle y=\frac1{2(x-1)}+1$을 얻는다.

따라서 T는 유리함수의 그래프 $\displaystyle y=\frac1{2(x-1)}+1$와 $\displaystyle x$축, $\displaystyle y$축으로 둘러싸인 도형이고, 그 넓이는$\displaystyle \int_0^{\frac12}\left(\frac1{2(x-1)}+1\right)\,dx=\Biggl[\frac12\ln|x-1|+x\Biggr]_0^{\frac12}=\frac12(1-\ln2)$이다. 구하고자 하는 R의 넓이는 T의 넓이의 4배이므로, $\displaystyle 2(1-\ln2)$이다.

(2) $\displaystyle x$가 0보다 크고 $\displaystyle \frac12$보다 작을 때, $\displaystyle x$를 지나고 $\displaystyle y$축과 나란한 직선이 S와 만나는 점의 $\displaystyle y$좌표가 $\displaystyle y=\frac1{2(x-1)}+1$이다. 따라서 문제의 입체도형을 $\displaystyle x$축에 수직인 평면으로 잘랐을 때 그 단면의 넓이는 $\displaystyle \frac\pi2\left(\frac1{2(x-1)}+1\right)^2$이다.

R이 $\displaystyle y$축에 대하여 대칭이므로, 구하는 입체의 부피는$\displaystyle 2\int_0^{\frac12}\frac\pi2\left(\frac1{2(x-1)}+1\right)^2\,dx=\pi\Biggl[-\frac14\frac1{x-1}+\ln|x-1|+x\Biggr]_0^{\frac12}=\pi\left(\frac34-\ln2\right)$이다.