의학계 (오후) 1번

[논제 I-1] (1) 세 점 $\displaystyle O(0,0),\ A(0,1),\ B(1,0)$을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 생각하자. 한 점 P가 삼각형 OAB 내부에 있으면 P에서 선분 AB까지 거리는 다른 세 변들까지의 거리보다 짧거나 같다. 삼각형 내부의 점들 중 원점까지 거리가 선분 AB까지 거리의 $\displaystyle \sqrt2$배가 되는 점들의 집합을 S라고 하고 곡선 S와 $\displaystyle x$축, $\displaystyle y$축으로 둘러싸인 도형을 T라고 하자. 그러면 T는 도형 R이 1사분면에 속하는 부분이 된다. 삼각형 OAB의 내부의 한 점 $\displaystyle (x,y)$에서 원점까지 거리와 그 점에서 선분 AB까지 거리는 각각 $\displaystyle \sqrt{x^2+y^2},\ \frac{|x+y-1|}{\sqrt2}$이므로, S는$\displaystyle \sqrt{x^2+y^2}=|x+y-1|$를 만족하는 점들의 집합이다. 양변을 제곱하면 $\displaystyle x^2+y^2=x^2+y^2+2xy-2x-2y+1$이고, 정리하면 $\displaystyle 2xy-2x-2y+1=0$를 얻는다. $\displaystyle x\ne1$이므로, 위 식을 $\displaystyle y$에 관하여 정리하면,$\displaystyle y=\frac1{2(x-1)}+1$을 얻는다.

따라서 T는 유리함수의 그래프 $\displaystyle y=\frac1{2(x-1)}+1$와 $\displaystyle x$축, $\displaystyle y$축으로 둘러싸인 도형이고, 그 넓이는$\displaystyle \int_0^{\frac12}\left(\frac1{2(x-1)}+1\right)\,dx=\Biggl[\frac12\ln|x-1|+x\Biggr]_0^{\frac12}=\frac12(1-\ln2)$이다. 구하고자 하는 R의 넓이는 T의 넓이의 4배이므로, $\displaystyle 2(1-\ln2)$이다.

(2) $\displaystyle x$가 0보다 크고 $\displaystyle \frac12$보다 작을 때, $\displaystyle x$를 지나고 $\displaystyle y$축과 나란한 직선이 S와 만나는 점의 $\displaystyle y$좌표가 $\displaystyle y=\frac1{2(x-1)}+1$이다. 따라서 문제의 입체도형을 $\displaystyle x$축에 수직인 평면으로 잘랐을 때 그 단면의 넓이는 $\displaystyle \frac\pi2\left(\frac1{2(x-1)}+1\right)^2$이다.

R이 $\displaystyle y$축에 대하여 대칭이므로, 구하는 입체의 부피는$\displaystyle 2\int_0^{\frac12}\frac\pi2\left(\frac1{2(x-1)}+1\right)^2\,dx=\pi\Biggl[-\frac14\frac1{x-1}+\ln|x-1|+x\Biggr]_0^{\frac12}=\pi\left(\frac34-\ln2\right)$이다.

[논제 I-2] (1) 구간 $\displaystyle [0,k]$에 속하는 $\displaystyle x$에 대하여$\displaystyle (x-k)^n=(-1)^n(k-x)^n$이므로, $\displaystyle |a_n|=\left|(-1)^n\int_0^k\frac{x^n(k-x)^n}{n!}e^x\,dx\right|=\int_0^k\frac{x^n(k-x)^n}{n!}e^x\,dx$이다.이차함수 $\displaystyle y=x(k-x)$는 최댓값 $\displaystyle \frac{k^2}4$을 가지므로 $\displaystyle (x(k-x))^n\le\left(\frac{k^2}4\right)^n\le1$이다. 따라서 구간 $\displaystyle [0,k]$에 속하는 모든 $\displaystyle x$에 대해 $\displaystyle \left(1-\frac{x^n(k-x)^n}{n!}\right)\frac{e^x}{n!}=\left(\frac1{n!}\right)e^x-\frac{x^n(k-x)^n}{n!}e^x$은 0보다 크거나 같다. 그러므로 이 함수를 구간 $\displaystyle [0,k]$에서 $\displaystyle x$에 대하여 적분하면, 함수의 그래프와 $\displaystyle x$축 및 두 직선 $\displaystyle x=0,\ x=k$로 둘러싸인 도형의 넓이가 되어 그 값이 0보다 크거나 같게 된다.Correction. 괄호 안의 $\displaystyle \frac{x^n(k-x)^n}{n!}$은 $\displaystyle x^n(k-x)^n$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

이제$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^k\left(\frac1{n!}\right)e^x-\frac{x^n(k-x)^n}{n!}e^x\,dx&=\frac1{n!}\int_0^k e^x\,dx-\int_0^k\frac{x^n(k-x)^n}{n!}e^x\,dx\\&=\frac1{n!}(e^k-1)-|a_n|\end{aligned}$이므로 $\displaystyle 0\le|a_n|\le\frac1{n!}(e^k-1)$이다. $\displaystyle 0\le k\le2$이고, $\displaystyle e^2-1\le8$이므로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac1{n!}(e^k-1)\le\lim_{n\to\infty}\frac8{n!}=0$이다.그러므로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}|a_n|=0$이다.

(2) $\displaystyle a_1$에서 $\displaystyle f(x)=x(x-k),\ g^{\prime}(x)=e^x$로 놓으면 $\displaystyle f^{\prime}(x)=2x-k,\ g(x)=e^x$이므로 부분적분법을 적용하면$\displaystyle a_1=\int_0^k x(x-k)e^x\,dx=\Biggl[x(x-k)e^x\Biggr]_0^k-\int_0^k(2x-k)e^x\,dx=-\int_0^k(2x-k)e^x\,dx$이다. 이 식에서 $\displaystyle f(x)=2x-k,\ g^{\prime}(x)=e^x$로 놓고 다시 부분적분법을 적용하면$\displaystyle a_1=-\int_0^k(2x-k)e^x\,dx=\Biggl[-(2x-k)e^x\Biggr]_0^k+\int_0^k2e^x\,dx=(-k+2)e^k-(k+2)$를 얻는다.$\displaystyle a_2$에서 $\displaystyle f(x)=\frac{x^2(x-k)^2}2,\ g^{\prime}(x)=e^x$로 놓으면 $\displaystyle f^{\prime}(x)=(2x-k)x(x-k),\ g(x)=e^x$이므로 부분적분법을 적용하면$\displaystyle a_2=\Biggl[\frac{x^2(x-k)^2}2e^x\Biggr]_0^k-\int_0^k(2x-k)x(x-k)^2e^x\,dx=-\int_0^k(2x-k)x(x-k)e^x\,dx$Correction. $\displaystyle (x-k)^2$은 $\displaystyle x-k$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.를 얻는다. 이 식에서 $\displaystyle f(x)=(2x-k)x(x-k),\ g(x)=e^x$로 놓고 다시 부분적분법을 적용하면$\displaystyle \begin{aligned}a_2&=\Biggl[-2(x-k)x(x-k)e^x\Biggr]_0^k+\int_0^k(2x(x-k)+(2x-k)^2)e^x\,dx\\&=\int_0^k(2x(x-k)+4x(x-k)+k^2)e^x\,dx\end{aligned}$Correction. $\displaystyle -2(x-k)$는 $\displaystyle -(2x-k)$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이고, 이를 정리하면$\displaystyle a_2=6\int_0^k x(x-k)e^x\,dx+k^2\int_0^k e^x\,dx=6a_1+k^2(e-1)=(k^2-6k+12)e^k-(k^2+6k+12)$Correction. $\displaystyle e$는 $\displaystyle e^k$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이다.

이제 3보다 크거나 같은 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle u_n(x)=\frac{x^n(x-k)^n}{n!}$이라고 하자. 이 함수를 $\displaystyle x$에 대하여 미분하면$\displaystyle u_n^{\prime}(x)=(2x-k)\frac{x^{n-1}(x-k)^{n-1}}{(n-1)!}$이고, 한 번 더 미분하면$\displaystyle u_n^{\prime\prime}(x)=2\frac{x^{n-1}(x-k)^{n-1}}{(n-1)!}+(2x-k)^2\frac{x^{n-2}(x-k)^{n-2}}{(n-2)!}$이다. 이 때, $\displaystyle (2x-k)^2=4x(x-k)+k^2$이고,$\displaystyle (4x(x-k)+k^2)\frac{x^{n-2}(x-k)^{n-2}}{(n-2)!}=(4n-4)\frac{x^{n-1}(x-k)^{n-1}}{(n-1)!}+k^2\frac{x^{n-2}(x-k)^{n-2}}{(n-2)!}$이므로,$\displaystyle u_n^{\prime\prime}(x)=(4n-2)\frac{x^{n-1}(x-k)^{n-1}}{(n-1)!}+k^2\frac{x^{n-2}(x-k)^{n-2}}{(n-2)!}$이다.$\displaystyle a_n$에서 $\displaystyle f(x)=u_n(x),\ g^{\prime}(x)=e^x$로 놓고 부분적분법을 적용하면, $\displaystyle u_n(0)=u_n(k)=0$이므로,$\displaystyle a_n=\int_0^k u_n(x)e^x\,dx=\Biggl[u_ne^x\Biggr]_0^k-\int_0^k u_n^{\prime}(x)e^x\,dx=-\int_0^k u_n(x)^{\prime}e^x\,dx$이다. 이 식에서 $\displaystyle f(x)=u_n^{\prime}(x),\ g^{\prime}(x)=e^x$로 놓고 부분적분법을 적용하면, $\displaystyle u_n^{\prime}(0)=u_n^{\prime}(k)=0$이므로,$\displaystyle a_n=-\int_0^k u_n^{\prime}(x)e^x\,dx=\Biggl[-u_n^{\prime}(x)e^x\Biggr]_0^k+\int_0^k u_n^{\prime\prime}(x)e^x\,dx=\int_0^k u_n^{\prime\prime}(x)e^x\,dx$이다. 이제 앞서 구한 $\displaystyle u_n^{\prime\prime}(x)$을 대입하면,$\displaystyle \begin{aligned}a_n&=\int_0^k u_n^{\prime\prime}(x)e^x\,dx\\&=(4n-2)\int_0^k u_{n-1}(x)e^x\,dx+k^2\int_0^k u_{n-2}(x)e^x\,dx=(4n-2)a_{n-1}+k^2a_{n-2}\end{aligned}$ …… ①를 얻는다.

이제 앞서 구한 $\displaystyle a_1,a_2$에 ①을 차례대로 적용하면,$\displaystyle a_3=10a_2+k^2a_1=(-k^3+12k^2-60k+120)e^k-(k^3+12k^2+60k+120),$$\displaystyle a_4=14a_3+k^2a_2=(k^4-20k^3+180k^2-840k+1680)e^k-(k^4+20k^3+180k^2+840k+1680)$을 얻는다.