의학계 (오전) 1-2번

[논제 I-2](1) 오른쪽 그림에서 $\displaystyle C_2$에서 직선 $\displaystyle C_1X$에 내린 수선의 발을 F라 할 때, 사각형 $\displaystyle YXFC_2$는 직사각형, 삼각형 $\displaystyle C_1FC_2$는 직각삼각형이므로, 피타고라스 정리에 의하여

$\displaystyle \overline{XY}=\overline{FC_2}=\sqrt{\overline{C_1C_2}^{\,2}-\overline{C_1F}^{\,2}}=\sqrt{(x+y)^2-(x-y)^2}=2\sqrt{xy}$이다.

사각형 $\displaystyle ZXX^{\prime}C_3$, 사각형 $\displaystyle YZC_3Y^{\prime}$이 모두 직사각형이고, 삼각형 $\displaystyle C_3X^{\prime}C_1$, 삼각형 $\displaystyle C_2Y^{\prime}C_3$가 모두 직각삼각형이므로$\displaystyle \overline{XZ}=\overline{X^{\prime}C_3}=\sqrt{\overline{C_1C_3}^{\,2}-\overline{C_1X^{\prime}}^{\,2}}=\sqrt{(x+z)^2-(x-z)^2}=2\sqrt{xz}$이고$\displaystyle \overline{YZ}=\overline{Y^{\prime}C_3}=\sqrt{\overline{C_2C_3}^{\,2}-\overline{C_2Y^{\prime}}^{\,2}}=\sqrt{(y+z)^2-(y-z)^2}=2\sqrt{yz}$이다.이로부터 $\displaystyle 2\sqrt{xy}=\overline{XY}=\overline{XZ}+\overline{YZ}=2\sqrt{xz}+2\sqrt{yz}=2\sqrt z(\sqrt x+\sqrt y)$을 얻는다. 이를 $\displaystyle z$에 대하여 풀면 원 $\displaystyle C_3$의 반지름 $\displaystyle z=\frac{xy}{(\sqrt x+\sqrt y)^2}$이고, $\displaystyle \overline{YZ}=2\sqrt{yz}=\frac{2y\sqrt x}{\sqrt x+\sqrt y}$이다.

(2) 주어진 조건으로부터 $\displaystyle a_{1} = 1 , a_{2} = r$이다. 여기서 $\displaystyle r = \frac{{( \sqrt{5} - 1 )^{2}}}{4}$라 하자.(1)의 결과를 적용하여$\displaystyle a_{3} = \frac{{1 \cdot r}}{( \sqrt{1} + \sqrt{r} )^{2}} = \frac{{\frac{{( \sqrt{5} - 1 )^{2}}}{4}}}{\left( 1 + \frac{{\sqrt{5} - 1}}{2} \right)^{2}} = \frac{{( \sqrt{5} - 1 )^{2}}}{( \sqrt{5} + 1 )^{2}} = \left( \frac{{( \sqrt{5} - 1 ) ( \sqrt{5} - 1 )}}{( \sqrt{5} + 1 ) ( \sqrt{5} - 1 )} \right)^{2} = \left( \frac{{( \sqrt{5} - 1 )^{2}}}{4} \right)^{2} = r^{2}$임을 알 수 있다.원 $\displaystyle \mathrm{O}_{3}$와 원 $\displaystyle \mathrm{O}_{2}$의 반지름의 길이의 비 $\displaystyle \frac{a_{3}}{a_{2}}$는 원 $\displaystyle \mathrm{O}_{2}$와 원 $\displaystyle \mathrm{O}_{1}$의 반지름의 길이의 비 $\displaystyle \frac{a_{2}}{a_{1}}$와 $\displaystyle r$로 서로 같다. 원 $\displaystyle \mathrm{O}_{2}$와 원 $\displaystyle \mathrm{O}_{3}$가 서로 한 점에서 만나고 동시에 $\displaystyle x$축에 접하는 관계는 원 $\displaystyle \mathrm{O}_{1}$과 원 $\displaystyle \mathrm{O}_{2}$가 서로 한 점에서 만나고 동시에 $\displaystyle x$축에 접하는 관계와 닮았고 그 닮음비가 $\displaystyle r$이다. 그래서 원 $\displaystyle \mathrm{O}_{2}$와 원 $\displaystyle \mathrm{O}_{3}$ 사이 관계에서 만들어진 원 $\displaystyle \mathrm{O}_{4}$와, 원 $\displaystyle \mathrm{O}_{1}$와 원 $\displaystyle \mathrm{O}_{2}$ 사이 관계에서 만들어진 원 $\displaystyle \mathrm{O}_{3}$의 닮음비가 $\displaystyle r$이 되고, 원 $\displaystyle \mathrm{O}_{4}$의 반지름의 길이 $\displaystyle a_{4}$는 원 $\displaystyle \mathrm{O}_{3}$의 반지름의 길이 $\displaystyle a_{3}$의 $\displaystyle r$배가 된다. 즉 $\displaystyle a_{4} = r a_{3} = r^{3}$이다.이와 같은 닮은 관계가 계속되므로 $\displaystyle a_{n+1}=ra_n$이 되어 $\displaystyle a_n$은 공비 $\displaystyle r$을 가지는 등비수열이다.그래서 $\displaystyle a_n=r^{n-1}=\frac{(\sqrt5-1)^{2n-2}}{4^{n-1}}$이다.

모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 원 $\displaystyle O_n$과 $\displaystyle x$축과의 교점을 $\displaystyle X_n$이라 하자. 원 $\displaystyle O_{n+1}$은, $\displaystyle n$이 짝수일 때, 원 $\displaystyle O_n$의 왼쪽, $\displaystyle n$이 홀수일 때, 원 $\displaystyle O_n$의 오른쪽에 위치하므로,$\displaystyle x_{n+1}=x_n+(-1)^{n-1}\overline{X_nX_{n+1}}$이다. 따라서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{X}_{n} \mathrm{X}_{n + 1}}}$은 (1)의 결과로부터

$\displaystyle \begin{aligned}\overline{X_nX_{n+1}}&=\frac{2r^{n-1}\cdot\sqrt{r^{n-2}}}{\sqrt{r^{n-2}}+\sqrt{r^{n-1}}}=\frac{2r^{n-1}}{1+\sqrt r}=\frac2{1+\sqrt r}r^{n-1}\\&=\frac4{\sqrt5+1}r^{n-1}=(\sqrt5-1)r^{n-1}\end{aligned}$이다.$\displaystyle x_1=0$이므로$\displaystyle x_{n+1}=\sum_{i=1}^n(-1)^{n-1}\overline{X_nX_{n+1}}=\sum_{i=1}^n(\sqrt5-1)(-r)^{n-1}$이다.Correction. 합의 항에 있는 지수 $\displaystyle n-1$은 $\displaystyle i-1$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.그래서 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n=\frac{\sqrt5-1}{1-(-r)}=\frac{\sqrt5-1}{1+\frac{3-\sqrt5}2}=\frac{2(\sqrt5-1)}{5-\sqrt5}=\frac2{\sqrt5}=\frac{2\sqrt5}5$이다.