자연계열 1-1번

[논제 Ⅰ](1)임의의 실수 $\displaystyle p,q$에 대하여 $\displaystyle (p-q)^2\ge0$에서 $\displaystyle 2pq\le p^2+q^2$이고 등호는 $\displaystyle p=q$에서 성립한다. $\displaystyle p=ax,q=120\frac ya$를 대입하면, $\displaystyle 240xy\le a^2x^2+120^2\frac{y^2}{a^2}$에서 $\displaystyle 100x^2+240xy\le(100+a^2)x^2+120^2\frac{y^2}{a^2}$이다.$\displaystyle 100+a^2=\frac{120^2}{a^2}$이 되도록 하는 $\displaystyle a^2$을 찾으면 $\displaystyle a^2=\frac{-100+\sqrt{100^2+4\times120^2}}2$이고$\displaystyle 100x^2+240xy\le\frac{100+\sqrt{100^2+4\times120^2}}2(x^2+y^2)=180$이다.따라서 $\displaystyle 100x^2+240xy$의 최댓값은 180이다.Comment. $\displaystyle x=\frac3{\sqrt{13}}$, $\displaystyle y=\frac2{\sqrt{13}}$일 때 조건을 만족하면서 값이 $\displaystyle 180$이 되므로, 최댓값은 $\displaystyle 180$이다.