경희대 2022학년도 모의 자연계열 1-2번 해설

[나] 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 어떤 구간에 속하는 임의의 두 수 $\displaystyle x_1,\ x_2$ 에 대하여 $\displaystyle x_1<x_2$ 일 때 $\displaystyle f(x_1)<f(x_2)$ 이면 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 그 구간에서 증가한다고 한다. 또, $\displaystyle x_1<x_2$ 일 때 $\displaystyle f(x_1)>f(x_2)$ 이면 $\displaystyle f(x)$ 는 그 구간에서 감소한다고 한다. 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 어떤 열린구간에서 미분이 가능할 때, 그 열린구간에 속하는 모든 $\displaystyle x$ 에 대하여(1) $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$ 이면 $\displaystyle f(x)$ 는 그 열린구간에서 증가한다.(2) $\displaystyle f^{\prime}(x)<0$ 이면 $\displaystyle f(x)$ 는 그 열린구간에서 감소한다.

[다] 미분가능한 함수 $\displaystyle f(x)$ 에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(a)=0$ 이고 $\displaystyle x=a$ 의 좌우에서(1) $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 극대이다.(2) $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 의 부호가 음에서 양으로 바뀌면 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 극소이다.

[라] 함수 $\displaystyle f(x)$ 에서 $\displaystyle x$ 의 값이 음수이면서 그 절댓값이 한없이 커질 때, $\displaystyle f(x)$ 의 값이 일정한 값 $\displaystyle L$ 에 한없이 가까워지면 이것을 $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=L$ 또는 $\displaystyle x\to-\infty$ 일 때 $\displaystyle f(x)\to L$ 과 같이 나타낸다.

[논제 1]

(2) 삼차함수 $\displaystyle f(x)=4x^3+ax^2+bx+c$ ( $\displaystyle a,b,c$ 상수)에 대하여 함수 $\displaystyle g(x)=f(e^x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.(ㄱ) 모든 실수 $\displaystyle x$ 에 대하여 $\displaystyle g^{\prime}(x)=e^{4x}g^{\prime}(-x)$ 이다.(ㄴ) $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}g(x)=-9a$ 이다.(ㄷ) 함수 $\displaystyle g(x)$ 는 최소한 하나의 극값을 가진다.이러한 모든 함수 $\displaystyle g(x)$ 에 대하여, 함수 $\displaystyle h(x)=g(x)-2(a^2+6)e^x$ 의 최솟값이 최대가 되는 $\displaystyle a$ 의 값을 구하고, 그 근거를 논술하시오. (15점)

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[논제 Ⅰ](2)함수 $\displaystyle g(x)$ 를 미분하면 $\displaystyle g^{\prime}(x)=12e^{3x}+2ae^{2x}+be^x$ 이고, 주어진 조건(가) $\displaystyle g^{\prime}(x)=e^{4x}g^{\prime}(-x)$ 로부터 $\displaystyle 12e^{3x}+2ae^{2x}+be^x=e^{4x}(12e^{-3x}+2ae^{-2x}+be^{-x})=12e^x+2ae^{2x}+be^{3x}$ 를 얻는다.변수 $\displaystyle x$ 에 1을 대입하면 $\displaystyle 12e^3+2ae^2+be=12e+2ae^2+be^3$ 이 되고, $\displaystyle b=12$ 임을 알 수 있다.그래서, $\displaystyle g(x)=4e^{3x}+ae^{2x}+12e^x+c$ 이다. $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}g(x)=\lim_{x\to-\infty}(4e^{3x}+ae^{2x}+12e^x+c)=c$ 이므로 조건(나) $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}g(x)=-9a$ 로부터 $\displaystyle c=-9a$ 이다.조건(다) 함수 $\displaystyle g(x)$ 가 최소한 하나의 극값을 가져야 하기에 도함수 $\displaystyle g^{\prime}(x)=12e^{3x}+2ae^{2x}+12e^x$ 가 부호가 바뀌는 근을 가진다. $\displaystyle A=e^x$ 라 하면 함수 $\displaystyle 12A^3+2aA^2+12A=2A(6A^2+aA+6)$ 가 중근이 아닌 양의 근을 가져야 한다. $\displaystyle A>0$ 이므로 이차함수 $\displaystyle y=6A^2+aA+6$ 가 중근이 아닌 양의 근을 가져야 한다.판별식 $\displaystyle a^2-4\cdot6\cdot6>0$ 이므로, $\displaystyle |a|>12$ 이다. 양의 근을 가지기 위하여 꼭짓점의 $\displaystyle A$ 좌표가 양수이므로, $\displaystyle a<0$ 이다. 이로부터 $\displaystyle a<-12$ 이다.함수 $\displaystyle h(x)=g(x)-2(a^2+6)e^x=4e^{3x}+ae^{2x}-2a^2e^x-9a$ 이고 $\displaystyle h^{\prime}(x)=12e^{3x}+2ae^{2x}-2a^2e^x=2e^x(6e^{2x}+ae^x-a^2)=2e^x(3e^x-a)(2e^x+a)$ 이다. $\displaystyle a<0$ 이므로 $\displaystyle e^x=-\frac a2$ , 즉 $\displaystyle x=\ln\left(-\frac a2\right)$ 만 근이 된다. $\displaystyle h^{\prime}(x)$ 가 $\displaystyle x=\ln\left(-\frac a2\right)$ 에서 음에서 양으로 부호가 바뀌므로 $\displaystyle h(x)$ 는 $\displaystyle x=\ln\left(-\frac a2\right)$ 에서 최소이고, $\displaystyle h\left(\ln\left(-\frac a2\right)\right)=4\left(-\frac a2\right)^3+a\left(-\frac a2\right)^2-2a^2\left(-\frac a2\right)-9a=\frac34a^3-9a$ 가 최솟값이다.함수 $\displaystyle k(a)=\frac34a^3-9a$ 라 하면, $\displaystyle k^{\prime}(a)=\frac94a^2-9=\frac94(a^2-4)$ 이다. $\displaystyle a<-12$ 에서 $\displaystyle k^{\prime}(a)$ 의 부호가 항상 양이므로 $\displaystyle k(a)$ 는 증가함수이다. $\displaystyle a<-12$ 에는 끝점이 포함되지 않으므로 $\displaystyle k(a)$ 는 최댓값을 가지지 않는다.그래서 함수 $\displaystyle h(x)$ 의 최솟값이 최대가 되는 $\displaystyle a$ 는 없다.

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자연계열 1-2번

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