자연계열 1번

[논제 Ⅰ](1)임의의 실수 $\displaystyle p,q$에 대하여 $\displaystyle (p-q)^2\ge0$에서 $\displaystyle 2pq\le p^2+q^2$이고 등호는 $\displaystyle p=q$에서 성립한다. $\displaystyle p=ax,q=120\frac ya$를 대입하면, $\displaystyle 240xy\le a^2x^2+120^2\frac{y^2}{a^2}$에서 $\displaystyle 100x^2+240xy\le(100+a^2)x^2+120^2\frac{y^2}{a^2}$이다.$\displaystyle 100+a^2=\frac{120^2}{a^2}$이 되도록 하는 $\displaystyle a^2$을 찾으면 $\displaystyle a^2=\frac{-100+\sqrt{100^2+4\times120^2}}2$이고$\displaystyle 100x^2+240xy\le\frac{100+\sqrt{100^2+4\times120^2}}2(x^2+y^2)=180$이다.따라서 $\displaystyle 100x^2+240xy$의 최댓값은 180이다.Comment. $\displaystyle x=\frac3{\sqrt{13}}$, $\displaystyle y=\frac2{\sqrt{13}}$일 때 조건을 만족하면서 값이 $\displaystyle 180$이 되므로, 최댓값은 $\displaystyle 180$이다.

[논제 Ⅰ](2)함수 $\displaystyle g(x)$를 미분하면 $\displaystyle g^{\prime}(x)=12e^{3x}+2ae^{2x}+be^x$이고, 주어진 조건(가) $\displaystyle g^{\prime}(x)=e^{4x}g^{\prime}(-x)$로부터 $\displaystyle 12e^{3x}+2ae^{2x}+be^x=e^{4x}(12e^{-3x}+2ae^{-2x}+be^{-x})=12e^x+2ae^{2x}+be^{3x}$를 얻는다.변수 $\displaystyle x$에 1을 대입하면 $\displaystyle 12e^3+2ae^2+be=12e+2ae^2+be^3$이 되고, $\displaystyle b=12$임을 알 수 있다.그래서, $\displaystyle g(x)=4e^{3x}+ae^{2x}+12e^x+c$이다.$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}g(x)=\lim_{x\to-\infty}(4e^{3x}+ae^{2x}+12e^x+c)=c$이므로 조건(나) $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}g(x)=-9a$로부터 $\displaystyle c=-9a$이다.조건(다) 함수 $\displaystyle g(x)$가 최소한 하나의 극값을 가져야 하기에 도함수 $\displaystyle g^{\prime}(x)=12e^{3x}+2ae^{2x}+12e^x$가 부호가 바뀌는 근을 가진다.$\displaystyle A=e^x$라 하면 함수 $\displaystyle 12A^3+2aA^2+12A=2A(6A^2+aA+6)$가 중근이 아닌 양의 근을 가져야 한다. $\displaystyle A>0$이므로 이차함수 $\displaystyle y=6A^2+aA+6$가 중근이 아닌 양의 근을 가져야 한다.판별식 $\displaystyle a^2-4\cdot6\cdot6>0$이므로, $\displaystyle |a|>12$이다. 양의 근을 가지기 위하여 꼭짓점의 $\displaystyle A$좌표가 양수이므로, $\displaystyle a<0$이다. 이로부터 $\displaystyle a<-12$이다.함수 $\displaystyle h(x)=g(x)-2(a^2+6)e^x=4e^{3x}+ae^{2x}-2a^2e^x-9a$이고$\displaystyle h^{\prime}(x)=12e^{3x}+2ae^{2x}-2a^2e^x=2e^x(6e^{2x}+ae^x-a^2)=2e^x(3e^x-a)(2e^x+a)$이다.$\displaystyle a<0$이므로 $\displaystyle e^x=-\frac a2$, 즉 $\displaystyle x=\ln\left(-\frac a2\right)$만 근이 된다.$\displaystyle h^{\prime}(x)$가 $\displaystyle x=\ln\left(-\frac a2\right)$에서 음에서 양으로 부호가 바뀌므로 $\displaystyle h(x)$는 $\displaystyle x=\ln\left(-\frac a2\right)$에서 최소이고,$\displaystyle h\left(\ln\left(-\frac a2\right)\right)=4\left(-\frac a2\right)^3+a\left(-\frac a2\right)^2-2a^2\left(-\frac a2\right)-9a=\frac34a^3-9a$가 최솟값이다.함수 $\displaystyle k(a)=\frac34a^3-9a$라 하면, $\displaystyle k^{\prime}(a)=\frac94a^2-9=\frac94(a^2-4)$이다.$\displaystyle a<-12$에서 $\displaystyle k^{\prime}(a)$의 부호가 항상 양이므로 $\displaystyle k(a)$는 증가함수이다. $\displaystyle a<-12$에는 끝점이 포함되지 않으므로 $\displaystyle k(a)$는 최댓값을 가지지 않는다.그래서 함수 $\displaystyle h(x)$의 최솟값이 최대가 되는 $\displaystyle a$는 없다.