의·약학계 1-2번

[논제 Ⅰ-2]변 CD의 길이를 $\displaystyle x$라 하자. 점 D에서 선분 BC에 내린 수선의 발을 점 E라 하자. 각 DCE를 $\displaystyle \theta$라 하자. $\displaystyle \overline{EC}=x\cos\theta,\ \overline{DE}=\overline{AB}=x\sin\theta$이다.$\displaystyle \overline{AD}:\overline{BC}=1:2$이므로 $\displaystyle \overline{AD}=\overline{BE}=\overline{EC}=x\cos\theta$이다.사다리꼴 ABCD의 둘레의 길이가 1이므로,$\displaystyle x(1+3\cos\theta+\sin\theta)=1$이고, $\displaystyle x=\frac1{1+3\cos\theta+\sin\theta}$이다.원 O가 선분 AD에 접하는 경우와 선분 CD에 접하는 경우로 나누어 생각한다.

원 O가 선분 AD에 접하는 경우, 반지름은$\displaystyle r_1=\frac12\overline{AB}=\frac12x\sin\theta=\frac{\sin\theta}{2(3\cos\theta+\sin\theta+1)}$.원 O가 선분 CD에 접하는 경우,점 F를 직선 AB와 직선 CD의 교점이라 하면 원 O는 직각삼각형 FBC의 내접원이다.$\displaystyle \begin{aligned}r_2&=\frac12(\overline{BF}+\overline{BC}-\overline{CF})=\frac12(2\overline{AB}+2\overline{EC}-2\overline{CD})\\&=x(\cos\theta+\sin\theta-1)=\frac{\cos\theta+\sin\theta-1}{3\cos\theta+\sin\theta+1}.\end{aligned}$

주어진 $\displaystyle \theta$에 대하여 $\displaystyle r_1$과 $\displaystyle r_2$ 중 작은 것이 구하고자 하는 $\displaystyle r$이다.어떤 $\displaystyle \theta$에 대하여 $\displaystyle r_2\ge r_1$이 되는지 밝히기 위하여, $\displaystyle r_2-r_1$를 계산하자.$\displaystyle r_2-r_1=x\left(\cos\theta+\frac12\sin\theta-1\right)$이다.$\displaystyle x>0$이므로 $\displaystyle f(\theta)=\cos\theta+\frac12\sin\theta-1$의 부호가 $\displaystyle r_2-r_1$의 부호와 같다.$\displaystyle f(\theta)$의 근을 찾기 위하여, $\displaystyle f(\theta)=\cos\theta+\frac12\sin\theta-1=0$로부터 $\displaystyle \sin\theta=2-2\cos\theta$를 얻는다.양변을 제곱하면 $\displaystyle 1-\cos^2\theta=\sin^2\theta=4-8\cos\theta+4\cos^2\theta$이다.이를 정리하면 $\displaystyle 5\cos^2\theta-8\cos\theta+3=(5\cos\theta-3)(\cos\theta-1)=0$이다.$\displaystyle 0<\theta<\frac\pi2$이기에 이 방정식은 $\displaystyle \cos\theta=\frac35$인 근 하나만을 가진다. 이 근을 $\displaystyle \theta=\alpha$라 하자.이때, $\displaystyle \cos\alpha=\frac35$이고 $\displaystyle \sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\frac45$이다.$\displaystyle \cos\frac\pi4=\frac{\sqrt2}2>\frac35=\cos\alpha$이므로 $\displaystyle \frac\pi4<\alpha$이다. $\displaystyle \cos\frac\pi2=0<\frac35=\cos\alpha$이므로 $\displaystyle \frac\pi2>\alpha$이다.또한, $\displaystyle f\left(\frac\pi4\right)=\frac{3\sqrt2}4-1>0$이고 $\displaystyle f\left(\frac\pi2\right)=-\frac12<0$이다.이로부터 $\displaystyle 0<\theta<\alpha$일 때, $\displaystyle r_2>r_1$이고, $\displaystyle \alpha<\theta<\frac\pi2$일 때, $\displaystyle r_2<r_1$이다.이를 정리하면, $\displaystyle r=\begin{cases}\frac{\sin\theta}{2(3\cos\theta+\sin\theta+1)}&0<\theta\le\alpha\\\frac{\cos\theta+\sin\theta-1}{3\cos\theta+\sin\theta+1}&\alpha\le\theta<\frac\pi2\end{cases}$이다.$\displaystyle 0<\theta\le\alpha$일 때,$\displaystyle \frac{dr}{d\theta}=\frac{\cos\theta(3\cos\theta+\sin\theta+1)-\sin\theta(-3\sin\theta+\cos\theta)}{2(3\cos\theta+\sin\theta+1)^2}=\frac{3+\cos\theta}{2(3\cos\theta+\sin\theta+1)^2}>0$이므로 $\displaystyle r$은 $\displaystyle \theta$에 대하여 증가함수가 되어 $\displaystyle \theta=\alpha$에서 최댓값을 가진다.$\displaystyle \alpha\le\theta<\frac\pi2$일 때,$\displaystyle \begin{aligned}\frac{dr}{d\theta}&=\frac{(-\sin\theta+\cos\theta)(3\cos\theta+\sin\theta+1)-(\cos\theta+\sin\theta-1)(-3\sin\theta+\cos\theta)}{2(3\cos\theta+\sin\theta+1)^2}\\&=\frac{\cos\theta-2\sin\theta+1}{(3\cos\theta+\sin\theta+1)^2}\end{aligned}$이다.Correction. 몫의 미분식 분모 앞의 $\displaystyle 2$는 없어야 하며, 정리한 식의 분자에는 계수 $\displaystyle 2$가 필요하다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \cos\theta\le\cos\alpha=\frac35,\ \sin\theta\ge\sin\alpha=\frac45$이므로 $\displaystyle \cos\theta-2\sin\theta+1\le\frac35-2\cdot\frac45+1=0$이고 $\displaystyle \frac{dr}{d\theta}\le0$이다. 이 경우에도 $\displaystyle \theta=\alpha$에서 최댓값을 가진다.이 두 경우 모두 $\displaystyle \theta=\alpha$에서 최댓값을 가지므로 $\displaystyle r$의 최댓값은$\displaystyle r=r_1=\frac{\sin\alpha}{2(3\cos\alpha+\sin\alpha+1)}=\frac{\frac45}{2\left(3\cdot\frac35+\frac45+1\right)}=\frac19$이다.