의·약학계 1-3번

[논제 Ⅰ-3](1) $\displaystyle X$을 $\displaystyle k$일 동안 대한이의 재산이 상승한 횟수라고 정의하면 $\displaystyle X$는 이항분포 $\displaystyle B(k,p)$를 따른다. 따라서 확률 $\displaystyle P_k$는 다음과 같다.$\displaystyle P_k=P(X=m)={}_{k}\mathrm C_m p^m q^{k-m}$.구하려는 값은$\displaystyle \sum_{k=m}^{2022}P_k\times q^{-k}=\sum_{k=m}^{2022}{}_{k}\mathrm C_m\left(\frac pq\right)^m=\left(\frac pq\right)^m\sum_{k=m}^{2022}{}_{k}\mathrm C_m$.여기서, $\displaystyle {}_{m}\mathrm C_m$은 $\displaystyle (x+1)^m$에서 $\displaystyle x^m$의 계수,$\displaystyle {}_{m+1}\mathrm C_m$은 $\displaystyle (x+1)^{m+1}$에서 $\displaystyle x^m$의 계수,$\displaystyle \cdots$$\displaystyle {}_{2022}\mathrm C_m$은 $\displaystyle (x+1)^{2022}$에서 $\displaystyle x^m$의 계수이므로$\displaystyle \sum_{k=m}^{2022}{}_{k}\mathrm C_m$은 $\displaystyle \begin{aligned}&(1+x)^m+(1+x)^{m+1}+\cdots+(1+x)^{2022}\\&=(1+x)^m\times\frac{(1+x)^{2023-m}-1}x\\&=\frac{(1+x)^{2023}-(1+x)^m}x\end{aligned}$의 $\displaystyle x^m$의 계수이다. 즉, $\displaystyle (1+x)^{2023}-(1+x)^m$의 $\displaystyle x^{m+1}$의 계수와 같고 $\displaystyle {}_{2023}\mathrm C_{m+1}$이다.즉, $\displaystyle \sum_{k=m}^{2022}P_k\times q^{-k}=p^mq^{-m}\ {}_{2023}\mathrm C_{m+1}$이다. 따라서 $\displaystyle a_1+a_2+a_3=2023$이다.

(2) $\displaystyle X$을 64일 동안 대한이의 재산이 상승한 횟수라고 하면 $\displaystyle A_{64}=u^Xd^{(64-X)}$이고 $\displaystyle B_{64}=r^{64}$이다. 따라서 64일 후의 대한이의 재산이 민국의 재산보다 크거나 같을 확률은$\displaystyle P(A_{64}\ge B_{64})=P(u^Xd^{(64-X)}\ge r^{64})=P(u^Xd^{(64-X)}\ge u^{16}d^{48})=P(X\ge16).$$\displaystyle X$는 이항분포 $\displaystyle B(64,p)$를 따르고 $\displaystyle 64p,\ 64(1-p)\ge5$이므로 정규분포 $\displaystyle N(64p,64pq)$로 근사할 수 있다.Comment. 시행 횟수가 충분히 크므로 이항분포를 정규분포로 근사하여 계산한다.$\displaystyle P(X\ge16)=P\left(\frac{X-64p}{\sqrt{64pq}}\ge\frac{16-64p}{\sqrt{64pq}}\right)=P\left(Z\ge\frac{16-64p}{\sqrt{64pq}}\right).$여기서, $\displaystyle Z$는 표준정규분포이다.즉, $\displaystyle 0.1587=P(A_{64}\ge B_{64})=P\left(Z\ge\frac{16-64p}{\sqrt{64pq}}\right)$에서 $\displaystyle \frac{16-64p}{\sqrt{64pq}}=1$이다.$\displaystyle p+q=1$에서 $\displaystyle p=\frac15,\ q=\frac45$이다.