의·약학계 1번

[논제 Ⅰ-1]함수 $\displaystyle g(x)$를 미분하면 $\displaystyle g^{\prime}(x)=12e^{3x}+2ae^{2x}+be^x$이고, 주어진 조건(가) $\displaystyle g^{\prime}(x)=e^{4x}g^{\prime}(-x)$로부터 $\displaystyle 12e^{3x}+2ae^{2x}+be^x=e^{4x}(12e^{-3x}+2ae^{-2x}+be^{-x})=12e^x+2ae^{2x}+be^{3x}$를 얻는다.변수 $\displaystyle x$에 1을 대입하면 $\displaystyle 12e^3+2ae^2+be=12e+2ae^2+be^3$이 되고, $\displaystyle b=12$임을 알 수 있다.그래서, $\displaystyle g(x)=4e^{3x}+ae^{2x}+12e^x+c$이다.$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}g(x)=\lim_{x\to-\infty}(4e^{3x}+ae^{2x}+12e^x+c)=c$이므로 조건(나) $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}g(x)=-9a$로부터 $\displaystyle c=-9a$이다.조건(다) 함수 $\displaystyle g(x)$가 최소한 하나의 극값을 가져야 하기에 도함수 $\displaystyle g^{\prime}(x)=12e^{3x}+2ae^{2x}+12e^x$가 부호가 바뀌는 근을 가진다.$\displaystyle A=e^x$라 하면 함수 $\displaystyle 12A^3+2aA^2+12A=2A(6A^2+aA+6)$가 중근이 아닌 양의 근을 가져야 한다. $\displaystyle A>0$이므로 이차함수 $\displaystyle y=6A^2+aA+6$가 중근이 아닌 양의 근을 가져야 한다.판별식 $\displaystyle a^2-4\cdot6\cdot6>0$이므로, $\displaystyle |a|>12$이다. 양의 근을 가지기 위하여 꼭짓점의 $\displaystyle A$좌표가 양수이므로, $\displaystyle a<0$이다. 이로부터 $\displaystyle a<-12$이다.함수 $\displaystyle h(x)=g(x)-2(a^2+6)e^x=4e^{3x}+ae^{2x}-2a^2e^x-9a$이고$\displaystyle h^{\prime}(x)=12e^{3x}+2ae^{2x}-2a^2e^x=2e^x(6e^{2x}+ae^x-a^2)=2e^x(3e^x-a)(2e^x+a)$이다.$\displaystyle a<0$이므로 $\displaystyle e^x=-\frac a2$, 즉 $\displaystyle x=\ln\left(-\frac a2\right)$만 근이 된다.$\displaystyle h^{\prime}(x)$가 $\displaystyle x=\ln\left(-\frac a2\right)$에서 음에서 양으로 부호가 바뀌므로 $\displaystyle h(x)$는 $\displaystyle x=\ln\left(-\frac a2\right)$에서 최소이고,$\displaystyle h\left(\ln\left(-\frac a2\right)\right)=4\left(-\frac a2\right)^3+a\left(-\frac a2\right)^2-2a^2\left(-\frac a2\right)-9a=\frac34a^3-9a$가 최솟값이다.함수 $\displaystyle k(a)=\frac34a^3-9a$라 하면, $\displaystyle k^{\prime}(a)=\frac94a^2-9=\frac94(a^2-4)$이다.$\displaystyle a<-12$에서 $\displaystyle k^{\prime}(a)$의 부호가 항상 양이므로 $\displaystyle k(a)$는 증가함수이다. $\displaystyle a<-12$에는 끝점이 포함되지 않으므로 $\displaystyle k(a)$는 최댓값을 가지지 않는다.그래서 함수 $\displaystyle h(x)$의 최솟값이 최대가 되는 $\displaystyle a$는 없다.

[논제 Ⅰ-2]변 CD의 길이를 $\displaystyle x$라 하자. 점 D에서 선분 BC에 내린 수선의 발을 점 E라 하자. 각 DCE를 $\displaystyle \theta$라 하자. $\displaystyle \overline{EC}=x\cos\theta,\ \overline{DE}=\overline{AB}=x\sin\theta$이다.$\displaystyle \overline{AD}:\overline{BC}=1:2$이므로 $\displaystyle \overline{AD}=\overline{BE}=\overline{EC}=x\cos\theta$이다.사다리꼴 ABCD의 둘레의 길이가 1이므로,$\displaystyle x(1+3\cos\theta+\sin\theta)=1$이고, $\displaystyle x=\frac1{1+3\cos\theta+\sin\theta}$이다.원 O가 선분 AD에 접하는 경우와 선분 CD에 접하는 경우로 나누어 생각한다.

원 O가 선분 AD에 접하는 경우, 반지름은$\displaystyle r_1=\frac12\overline{AB}=\frac12x\sin\theta=\frac{\sin\theta}{2(3\cos\theta+\sin\theta+1)}$.원 O가 선분 CD에 접하는 경우,점 F를 직선 AB와 직선 CD의 교점이라 하면 원 O는 직각삼각형 FBC의 내접원이다.$\displaystyle \begin{aligned}r_2&=\frac12(\overline{BF}+\overline{BC}-\overline{CF})=\frac12(2\overline{AB}+2\overline{EC}-2\overline{CD})\\&=x(\cos\theta+\sin\theta-1)=\frac{\cos\theta+\sin\theta-1}{3\cos\theta+\sin\theta+1}.\end{aligned}$

주어진 $\displaystyle \theta$에 대하여 $\displaystyle r_1$과 $\displaystyle r_2$ 중 작은 것이 구하고자 하는 $\displaystyle r$이다.어떤 $\displaystyle \theta$에 대하여 $\displaystyle r_2\ge r_1$이 되는지 밝히기 위하여, $\displaystyle r_2-r_1$를 계산하자.$\displaystyle r_2-r_1=x\left(\cos\theta+\frac12\sin\theta-1\right)$이다.$\displaystyle x>0$이므로 $\displaystyle f(\theta)=\cos\theta+\frac12\sin\theta-1$의 부호가 $\displaystyle r_2-r_1$의 부호와 같다.$\displaystyle f(\theta)$의 근을 찾기 위하여, $\displaystyle f(\theta)=\cos\theta+\frac12\sin\theta-1=0$로부터 $\displaystyle \sin\theta=2-2\cos\theta$를 얻는다.양변을 제곱하면 $\displaystyle 1-\cos^2\theta=\sin^2\theta=4-8\cos\theta+4\cos^2\theta$이다.이를 정리하면 $\displaystyle 5\cos^2\theta-8\cos\theta+3=(5\cos\theta-3)(\cos\theta-1)=0$이다.$\displaystyle 0<\theta<\frac\pi2$이기에 이 방정식은 $\displaystyle \cos\theta=\frac35$인 근 하나만을 가진다. 이 근을 $\displaystyle \theta=\alpha$라 하자.이때, $\displaystyle \cos\alpha=\frac35$이고 $\displaystyle \sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\frac45$이다.$\displaystyle \cos\frac\pi4=\frac{\sqrt2}2>\frac35=\cos\alpha$이므로 $\displaystyle \frac\pi4<\alpha$이다. $\displaystyle \cos\frac\pi2=0<\frac35=\cos\alpha$이므로 $\displaystyle \frac\pi2>\alpha$이다.또한, $\displaystyle f\left(\frac\pi4\right)=\frac{3\sqrt2}4-1>0$이고 $\displaystyle f\left(\frac\pi2\right)=-\frac12<0$이다.이로부터 $\displaystyle 0<\theta<\alpha$일 때, $\displaystyle r_2>r_1$이고, $\displaystyle \alpha<\theta<\frac\pi2$일 때, $\displaystyle r_2<r_1$이다.이를 정리하면, $\displaystyle r=\begin{cases}\frac{\sin\theta}{2(3\cos\theta+\sin\theta+1)}&0<\theta\le\alpha\\\frac{\cos\theta+\sin\theta-1}{3\cos\theta+\sin\theta+1}&\alpha\le\theta<\frac\pi2\end{cases}$이다.$\displaystyle 0<\theta\le\alpha$일 때,$\displaystyle \frac{dr}{d\theta}=\frac{\cos\theta(3\cos\theta+\sin\theta+1)-\sin\theta(-3\sin\theta+\cos\theta)}{2(3\cos\theta+\sin\theta+1)^2}=\frac{3+\cos\theta}{2(3\cos\theta+\sin\theta+1)^2}>0$이므로 $\displaystyle r$은 $\displaystyle \theta$에 대하여 증가함수가 되어 $\displaystyle \theta=\alpha$에서 최댓값을 가진다.$\displaystyle \alpha\le\theta<\frac\pi2$일 때,$\displaystyle \begin{aligned}\frac{dr}{d\theta}&=\frac{(-\sin\theta+\cos\theta)(3\cos\theta+\sin\theta+1)-(\cos\theta+\sin\theta-1)(-3\sin\theta+\cos\theta)}{2(3\cos\theta+\sin\theta+1)^2}\\&=\frac{\cos\theta-2\sin\theta+1}{(3\cos\theta+\sin\theta+1)^2}\end{aligned}$이다.Correction. 몫의 미분식 분모 앞의 $\displaystyle 2$는 없어야 하며, 정리한 식의 분자에는 계수 $\displaystyle 2$가 필요하다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \cos\theta\le\cos\alpha=\frac35,\ \sin\theta\ge\sin\alpha=\frac45$이므로 $\displaystyle \cos\theta-2\sin\theta+1\le\frac35-2\cdot\frac45+1=0$이고 $\displaystyle \frac{dr}{d\theta}\le0$이다. 이 경우에도 $\displaystyle \theta=\alpha$에서 최댓값을 가진다.이 두 경우 모두 $\displaystyle \theta=\alpha$에서 최댓값을 가지므로 $\displaystyle r$의 최댓값은$\displaystyle r=r_1=\frac{\sin\alpha}{2(3\cos\alpha+\sin\alpha+1)}=\frac{\frac45}{2\left(3\cdot\frac35+\frac45+1\right)}=\frac19$이다.

[논제 Ⅰ-3](1) $\displaystyle X$을 $\displaystyle k$일 동안 대한이의 재산이 상승한 횟수라고 정의하면 $\displaystyle X$는 이항분포 $\displaystyle B(k,p)$를 따른다. 따라서 확률 $\displaystyle P_k$는 다음과 같다.$\displaystyle P_k=P(X=m)={}_{k}\mathrm C_m p^m q^{k-m}$.구하려는 값은$\displaystyle \sum_{k=m}^{2022}P_k\times q^{-k}=\sum_{k=m}^{2022}{}_{k}\mathrm C_m\left(\frac pq\right)^m=\left(\frac pq\right)^m\sum_{k=m}^{2022}{}_{k}\mathrm C_m$.여기서, $\displaystyle {}_{m}\mathrm C_m$은 $\displaystyle (x+1)^m$에서 $\displaystyle x^m$의 계수,$\displaystyle {}_{m+1}\mathrm C_m$은 $\displaystyle (x+1)^{m+1}$에서 $\displaystyle x^m$의 계수,$\displaystyle \cdots$$\displaystyle {}_{2022}\mathrm C_m$은 $\displaystyle (x+1)^{2022}$에서 $\displaystyle x^m$의 계수이므로$\displaystyle \sum_{k=m}^{2022}{}_{k}\mathrm C_m$은 $\displaystyle \begin{aligned}&(1+x)^m+(1+x)^{m+1}+\cdots+(1+x)^{2022}\\&=(1+x)^m\times\frac{(1+x)^{2023-m}-1}x\\&=\frac{(1+x)^{2023}-(1+x)^m}x\end{aligned}$의 $\displaystyle x^m$의 계수이다. 즉, $\displaystyle (1+x)^{2023}-(1+x)^m$의 $\displaystyle x^{m+1}$의 계수와 같고 $\displaystyle {}_{2023}\mathrm C_{m+1}$이다.즉, $\displaystyle \sum_{k=m}^{2022}P_k\times q^{-k}=p^mq^{-m}\ {}_{2023}\mathrm C_{m+1}$이다. 따라서 $\displaystyle a_1+a_2+a_3=2023$이다.

(2) $\displaystyle X$을 64일 동안 대한이의 재산이 상승한 횟수라고 하면 $\displaystyle A_{64}=u^Xd^{(64-X)}$이고 $\displaystyle B_{64}=r^{64}$이다. 따라서 64일 후의 대한이의 재산이 민국의 재산보다 크거나 같을 확률은$\displaystyle P(A_{64}\ge B_{64})=P(u^Xd^{(64-X)}\ge r^{64})=P(u^Xd^{(64-X)}\ge u^{16}d^{48})=P(X\ge16).$$\displaystyle X$는 이항분포 $\displaystyle B(64,p)$를 따르고 $\displaystyle 64p,\ 64(1-p)\ge5$이므로 정규분포 $\displaystyle N(64p,64pq)$로 근사할 수 있다.Comment. 시행 횟수가 충분히 크므로 이항분포를 정규분포로 근사하여 계산한다.$\displaystyle P(X\ge16)=P\left(\frac{X-64p}{\sqrt{64pq}}\ge\frac{16-64p}{\sqrt{64pq}}\right)=P\left(Z\ge\frac{16-64p}{\sqrt{64pq}}\right).$여기서, $\displaystyle Z$는 표준정규분포이다.즉, $\displaystyle 0.1587=P(A_{64}\ge B_{64})=P\left(Z\ge\frac{16-64p}{\sqrt{64pq}}\right)$에서 $\displaystyle \frac{16-64p}{\sqrt{64pq}}=1$이다.$\displaystyle p+q=1$에서 $\displaystyle p=\frac15,\ q=\frac45$이다.