자연계열 3-1번

경희대 2022학년도 수시 자연계열 3-1번 · mathesis.kr/archive/khu/2022su/jayeon_3_1

[마] 표본공간 $\displaystyle S$ 의 두 사건 $\displaystyle A,\ B$ 에 대하여① 사건 $\displaystyle A$ 또는 $\displaystyle B$ 가 일어날 확률 $\displaystyle P(A\cup B)$ 는 $\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ ② 두 사건 $\displaystyle A,\ B$ 가 서로 배반사건이면 $\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

[바] $\displaystyle n$ 개 중에서 서로 같은 것이 각각 $\displaystyle p$ 개, $\displaystyle q$ 개, …, $\displaystyle r$ 개 있을 때, $\displaystyle n$ 개를 일렬로 나열하는 순열의 수는 $\displaystyle \frac{n!}{p!\times q!\times\cdots\times r!}$ (단, $\displaystyle p+q+\cdots+r=n$ )

[논제 Ⅲ](1) 다음과 같이 두 학생 A, B 중에서 상품을 받을 한 명을 결정한다.(ⅰ) 비긴 경우도 포함해서 가위바위보를 최대 4회 실시한다.(ⅱ) A는 B보다 이긴 횟수가 많거나 같을 때 상품을 받는다.(ⅲ) B는 A보다 이긴 횟수가 많을 때만 상품을 받는다.(ⅳ) 가위바위보는 상품을 받을 학생이 결정될 때까지만 한다.예를 들어, A가 먼저 1회 이기고 2회 비긴 경우에는 남은 1회를 실시하지 않고 A가 상품을 받는다. 또한, 4회 모두 비긴 경우에도 A가 상품을 받는다. 이때 A가 상품을 받을 확률을 구하고, 그 근거를 논술하시오. (단, A, B가 가위, 바위, 보를 낼 확률은 각각 $\displaystyle \frac13$ 이다.) (10점)

해설강의 준비중

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+5점 · A가 상품을 받는 경우의 수를 적절하게 분류한다.

(1) 가위바위보에서 A가 B를 이길 확률, 비길 확률, 질 확률은 모두 $\displaystyle \frac13$ 이다.(i) 1회만 실시한 뒤, A가 상품을 받는 경우- 없음 (1회에 A가 이긴 경우라도 2회, 3회, 4회에 B가 이기면 B가 상품을 받게 된다. 이처럼 1회만 실시한 뒤에는 상품을 받을 사람이 결정되지 않는다. 따라서 1회만 실시한 뒤 A가 상품을 받는 경우는 없다.)(ii) 2회만 실시한 뒤, A가 상품을 받는 경우- 2승: 승-승(iii) 3회만 실시한 뒤, A가 상품을 받는 경우- 2승 1패: 승-패-승 / 패-승-승- 2승 1무: 승-무-승 / 무-승-승- 1승 2무: 승-무-무 / 무-승-무 / 무-무-승(iv) 4회 실시한 뒤, A가 상품을 받는 경우- 2승 2패: 승-패-패-승 / 패-승-패-승 / 패-패-승-승- 2승 1무 1패: 승-무-패-승 / 승-패-무-승 / 무-승-패-승 / 무-패-승-승 / 패-승-무-승 / 패-무-승-승- 1승 2무 1패: 승-패-무-무 / 승-무-패-무 / 패-승-무-무 / 패-무-승-무 / 패-무-무-승 / 무-승-패-무 / 무-무-패-승 / 무-패-승-무 / 무-패-무-승- 1승 3무: 무-무-무-승- 4무: 무-무-무-무

+5점 · A가 상품을 받을 확률을 정확하게 구한다.

따라서 구하는 확률은 $\displaystyle 1\times\frac19+7\times\frac1{27}+20\times\frac1{81}=\frac{50}{81}$ 이다.

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