자연계열 3-2번

(2) 검은색 면이 위로 놓인 경우를 B, 흰색 면이 위로 놓인 경우를 W로 표시하자. $\displaystyle r$개의 B와 $\displaystyle s$개의 W로 이루어진 띠의 위아래를 뒤집으면, $\displaystyle s$개의 B와 $\displaystyle r$개의 W로 이루어진 띠가 되므로, $\displaystyle r$이 $\displaystyle s$보다 크거나 같은 경우만 고려하면 된다.1) $\displaystyle n=4$일 때1-1) B의 개수가 4일 때, BBBB 한 가지 경우 밖에 없다.1-2) B의 개수가 3일 때, BBBW, BBWB, BWBB, WBBB가 같은 모양이므로 한 가지 밖에 없다.1-3) B의 개수가 2일 때, BBWW, BWWB, WWBB, WBBW가 같은 모양이고, BWBW, WBWB가 같은 모양이다. 2개의 B와 2개의 W를 일렬로 나열하는 순열의 수는 $\displaystyle \frac{4!}{2!2!}=6$이므로, 이 두 가지 말고 다른 모양은 없다.따라서 $\displaystyle a_4=1+1+2=4$이다.

2) $\displaystyle n=5$일 때2-1) B의 개수가 5일 때, BBBBB 한 가지 경우 밖에 없다.2-2) B의 개수가 4일 때, BBBBW 한 가지 경우 밖에 없다.2-3) B의 개수가 3일 때, BBBWW와 같은 모양이 되는 순열이 4개가 더 있고, BBWBW와 같은 모양인 순열도 4개가 더 있다. 3개의 B와 2개의 W를 일렬로 나열하는 순열의 수는 $\displaystyle \frac{5!}{3!2!}=10$이므로, 이 두 가지 말고 다른 모양은 없다.따라서 $\displaystyle a_5=1+1+2=4$이다.

3) $\displaystyle n=6$일 때3-1) B의 개수가 6일 때, BBBBBB 한 가지 경우 밖에 없다.3-2) B의 개수가 5일 때, BBBBBW 한 가지 경우 밖에 없다.3-3) B의 개수가 4일 때, BBBBWW, BBBWBW와 같은 모양이 되는 순열이 각각 5개씩 더 있으며, BBWBBW와 같은 모양이 되는 순열은 2개가 더 있다. 4개의 B와 2개의 W를 일렬로 늘어놓은 경우의 수는 $\displaystyle \frac{6!}{4!2!}=15$이므로, 이 세 가지 말고 다른 모양은 없다.3-4) B의 개수가 3일 때, BBBWWW와 같은 모양이 되는 순열이 5개, BBWBWW와 같은 모양이 되는 순열이 11개 더 있으며, BWBWBW와 WBWBWB는 서로 같은 모양이다. 3개의 B와 3개의 W를 일렬로 나열하는 순열의 수는 $\displaystyle \frac{6!}{3!3!}=20$이므로, 이 세 가지 말고 다른 모양은 없다.따라서 $\displaystyle a_6=1+1+3+3=8$이다.