수리논술, 이게 다다.

자연계열 2번

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경희대 2022학년도 수시 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/khu/2022su/jayeon_2

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문제

[나] 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 t\displaystyle t에서의 위치 x\displaystyle x가 x=f(t)\displaystyle x=f(t)일 때, 시각 t\displaystyle t에서의 점 P의 속도 v\displaystyle v는 다음과 같다.v=dxdt=f′(t)\displaystyle v=\frac{dx}{dt}=f^{\prime}(t)[다] 미분가능한 함수 f(x)\displaystyle f(x)에 대하여 f′(a)=0\displaystyle f^{\prime}(a)=0이고 x=a\displaystyle x=a의 좌우에서① f′(x)\displaystyle f^{\prime}(x)의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 f(x)\displaystyle f(x)는 x=a\displaystyle x=a에서 극대이다.② f′(x)\displaystyle f^{\prime}(x)의 부호가 음에서 양으로 바뀌면 f(x)\displaystyle f(x)는 x=a\displaystyle x=a에서 극소이다.[라] 두 함수 f(x), g(x)\displaystyle f(x),\ g(x)가 미분가능하고, f′(x)\displaystyle f^{\prime}(x)와 g′(x)\displaystyle g^{\prime}(x)가 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속일 때,∫abf(x)g′(x) dx=[f(x)g(x)]ab−∫abf′(x)g(x) dx\displaystyle \int_a^bf(x)g^{\prime}(x)\,dx=\Biggl[f(x)g(x)\Biggr]_a^b-\int_a^bf^{\prime}(x)g(x)\,dx

[논제 Ⅱ]수직선 위의 두 점 P, Q가 시각 t=0\displaystyle t=0일 때 각각 원점 O와 q0\displaystyle q_0에서 출발하여 속도 v1(t), v2(t)\displaystyle v_1(t),\ v_2(t)로 움직인다. 다음 조건‘q0>a\displaystyle q_0>a인 모든 실수 q0\displaystyle q_0에 대하여 0<t<1\displaystyle 0<t<1에서 두 점 P와 Q는 만나지 않는다.’에 대하여 물음에 답하시오.

(1) v1(t)=v2(t)+cos⁡π2t\displaystyle v_1(t)=v_2(t)+\cos\frac\pi2t일 때, 위 조건을 만족하는 실수 a\displaystyle a의 최솟값을 구하고, 그 근거를 논술하시오. (10점)

(2) v1(t)=v2(t)+tcos⁡4πt\displaystyle v_1(t)=v_2(t)+t\cos4\pi t일 때, 위 조건을 만족하는 실수 a\displaystyle a의 최솟값을 구하고, 그 근거를 논술하시오. (15점)

해설강의 준비중

경희대 2022학년도 수시 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/khu/2022su/jayeon_2

+3점 · 속도 함수를 적분한다.

(1) 시각 t\displaystyle t에서 두 점 P, Q의 위치를 각각 f(t), g(t)\displaystyle f(t),\ g(t)라 두면, f(0)=0, g(0)=q0\displaystyle f(0)=0,\ g(0)=q_0이고 f′(t)=g′(t)+cos⁡π2t\displaystyle f^{\prime}(t)=g^{\prime}(t)+\cos\frac\pi2t이다.h(t)=f(t)−g(t)\displaystyle h(t)=f(t)-g(t)로 두고, 위의 등식을 적분하면 h(t)=2πsin⁡π2t+h(0)=2πsin⁡π2t−q0\displaystyle h(t)=\frac2\pi\sin\frac\pi2t+h(0)=\frac2\pi\sin\frac\pi2t-q_0이다.

+4점 · 적분한 함수를 이용하여 P,Q가 만나지 않을 q0\displaystyle q_0의 조건을 찾는다.

‘q0>a\displaystyle q_0>a인 모든 q0\displaystyle q_0에 대하여, 두 점 P, Q가 만나지 않는다’는‘q0>a\displaystyle q_0>a인 모든 q0\displaystyle q_0에 대하여, 시각 0<t<1\displaystyle 0<t<1에서 h(t)=0\displaystyle h(t)=0인 t\displaystyle t가 존재하지 않는다’와 같다.따라서, q0>a\displaystyle q_0>a인 모든 q0\displaystyle q_0에 대하여, 시각 0<t<1\displaystyle 0<t<1에서 h(t)=0\displaystyle h(t)=0인 t\displaystyle t가 존재하지 않을 a\displaystyle a의 최솟값을 찾으면 된다.r(t)=2πsin⁡π2t, c=q0\displaystyle r(t)=\frac2\pi\sin\frac\pi2t,\ c=q_0라 두면, h(t)=0\displaystyle h(t)=0의 해는 r(t)=c\displaystyle r(t)=c의 해가 된다.아래 왼쪽 그림과 같이 y=r(t)\displaystyle y=r(t)와 y=c\displaystyle y=c의 교점이 0<t<1\displaystyle 0<t<1에서 존재하지 않기 위해서는 c=q0>h(1)=2π\displaystyle c=q_0>h(1)=\frac2\pi 혹은 c=q0≤0\displaystyle c=q_0\le0를 만족하여야 한다.Correction. 이 줄의 h(1)\displaystyle h(1)은 r(1)\displaystyle r(1)의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.Caution. 범위의 끝값을 포함하거나 제외할 때는 문제의 조건을 확인해야 한다: 0<t<1\displaystyle 0<t<1이므로 q0=2/π\displaystyle q_0=2/\pi일 때도 두 점은 만나지 않는다. 따라서 이 조건의 부등호 >\displaystyle >는 ≥\displaystyle \ge이어야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

+3점 · 모든 q0>a\displaystyle q_0>a에 대하여, P,Q가 만나지 않을 a\displaystyle a의 조건에 관해 찾는다.

즉, a≥2π\displaystyle a\ge\frac2\pi일 때 q0>a\displaystyle q_0>a를 만족하는 모든 q0\displaystyle q_0에 대하여, 두 점 P, Q가 만나지 않는다. 따라서, a\displaystyle a의 최솟값은 2π\displaystyle \frac2\pi이다.

두 속도 조건에서 r(t)의 그래프
+5점 · 속도 함수를 적분한다.

(2) (1)에서와 같이 h(t)\displaystyle h(t)를 정의하면, h(0)=−q0\displaystyle h(0)=-q_0이고 h′(t)=tcos⁡4πt\displaystyle h^{\prime}(t)=t\cos4\pi t이므로,h(t)=14πtsin⁡4πt+1(4π)2cos⁡4πt−1(4π)2−q0\displaystyle h(t)=\frac1{4\pi}t\sin4\pi t+\frac1{(4\pi)^2}\cos4\pi t-\frac1{(4\pi)^2}-q_0이다.

+6점 · 적분한 함수의 그래프의 개형을 이용하여, 점 P,Q가 만나지 않을 q0\displaystyle q_0의 조건을 찾는다.

이때, r(t)\displaystyle r(t)와 c\displaystyle c를 다음과 같이 두면, r(t)=14πtsin⁡4πt+1(4π)2cos⁡4πt, c=1(4π)2+q0\displaystyle r(t)=\frac1{4\pi}t\sin4\pi t+\frac1{(4\pi)^2}\cos4\pi t,\ c=\frac1{(4\pi)^2}+q_0, h(t)=0\displaystyle h(t)=0의 해는 r(t)=c\displaystyle r(t)=c의 해가 된다.y=r(t)\displaystyle y=r(t)의 그래프를 그리기 위해 r(t)\displaystyle r(t)의 극점을 구하면, r′(t)=tcos⁡4πt=0\displaystyle r^{\prime}(t)=t\cos4\pi t=0에서 tk=2k+18, k=0,1,2,3\displaystyle t_k=\frac{2k+1}8,\ k=0,1,2,3이 된다.각 tk\displaystyle t_k에서 r(tk)=14πtksin⁡(k+12)π=tk4π(−1)k=(−1)k2k+132π\displaystyle r(t_k)=\frac1{4\pi}t_k\sin\left(k+\frac12\right)\pi=\frac{t_k}{4\pi}(-1)^k=(-1)^k\frac{2k+1}{32\pi}이다. r(0)=r(1)=1(4π)2\displaystyle r(0)=r(1)=\frac1{(4\pi)^2}이므로, 함수의 증감표는 다음과 같다.

t\displaystyle t0\displaystyle 0t0\displaystyle t_0t1\displaystyle t_1t2\displaystyle t_2t3\displaystyle t_31\displaystyle 1
r′(t)\displaystyle r^{\prime}(t)+\displaystyle +0\displaystyle 0−\displaystyle -0\displaystyle 0+\displaystyle +0\displaystyle 0−\displaystyle -0\displaystyle 0+\displaystyle +
r(t)\displaystyle r(t)1(4π)2\displaystyle \frac1{(4\pi)^2}↗\displaystyle \nearrow132π\displaystyle \frac1{32\pi}↘\displaystyle \searrow−332π\displaystyle -\frac3{32\pi}↗\displaystyle \nearrow532π\displaystyle \frac5{32\pi}↘\displaystyle \searrow−732π\displaystyle -\frac7{32\pi}↗\displaystyle \nearrow1(4π)2\displaystyle \frac1{(4\pi)^2}

함수의 그래프의 개형은 위의 오른쪽 그림과 같으며, c>r(t2)\displaystyle c>r(t_2) 혹은 c<r(t3)\displaystyle c<r(t_3)일 때, r(t)=c\displaystyle r(t)=c의 해가 없다.c=1(4π)2+q0\displaystyle c=\frac1{(4\pi)^2}+q_0이므로, q0>r(t2)−1(4π)2(=5π−232π2)\displaystyle q_0>r(t_2)-\frac1{(4\pi)^2}\left(=\frac{5\pi-2}{32\pi^2}\right) 혹은 q0<r(t3)−1(4π)2(=−7π−232π2)\displaystyle q_0<r(t_3)-\frac1{(4\pi)^2}\left(=\frac{-7\pi-2}{32\pi^2}\right)이면, r(t)=c\displaystyle r(t)=c의 해가 없다.

+4점 · 모든 q0>a\displaystyle q_0>a에 대하여, P,Q가 만나지 않을 a\displaystyle a의 조건에 관해 찾는다.

즉, a≥5π−232π2\displaystyle a\ge\frac{5\pi-2}{32\pi^2}일 때, q0>a\displaystyle q_0>a인 모든 q0\displaystyle q_0에 대하여 r(t)=c\displaystyle r(t)=c의 해가 존재하지 않는다.따라서, 두 점 P, Q가 0<t<1\displaystyle 0<t<1에서 만나지 않을 a\displaystyle a의 최솟값은 5π−232π2\displaystyle \frac{5\pi-2}{32\pi^2}이다.

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