자연계열 2번

(1) 시각 $\displaystyle t$에서 두 점 P, Q의 위치를 각각 $\displaystyle f(t),\ g(t)$라 두면, $\displaystyle f(0)=0,\ g(0)=q_0$이고 $\displaystyle f^{\prime}(t)=g^{\prime}(t)+\cos\frac\pi2t$이다.$\displaystyle h(t)=f(t)-g(t)$로 두고, 위의 등식을 적분하면 $\displaystyle h(t)=\frac2\pi\sin\frac\pi2t+h(0)=\frac2\pi\sin\frac\pi2t-q_0$이다.

‘$\displaystyle q_0>a$인 모든 $\displaystyle q_0$에 대하여, 두 점 P, Q가 만나지 않는다’는‘$\displaystyle q_0>a$인 모든 $\displaystyle q_0$에 대하여, 시각 $\displaystyle 0<t<1$에서 $\displaystyle h(t)=0$인 $\displaystyle t$가 존재하지 않는다’와 같다.따라서, $\displaystyle q_0>a$인 모든 $\displaystyle q_0$에 대하여, 시각 $\displaystyle 0<t<1$에서 $\displaystyle h(t)=0$인 $\displaystyle t$가 존재하지 않을 $\displaystyle a$의 최솟값을 찾으면 된다.$\displaystyle r(t)=\frac2\pi\sin\frac\pi2t,\ c=q_0$라 두면, $\displaystyle h(t)=0$의 해는 $\displaystyle r(t)=c$의 해가 된다.아래 왼쪽 그림과 같이 $\displaystyle y=r(t)$와 $\displaystyle y=c$의 교점이 $\displaystyle 0<t<1$에서 존재하지 않기 위해서는 $\displaystyle c=q_0>h(1)=\frac2\pi$ 혹은 $\displaystyle c=q_0\le0$를 만족하여야 한다.Correction. 이 줄의 $\displaystyle h(1)$은 $\displaystyle r(1)$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.Comment. $\displaystyle 0<t<1$이므로 $\displaystyle q_0=2/\pi$일 때도 두 점은 만나지 않는다. 따라서 이 조건의 부등호 $\displaystyle >$는 $\displaystyle \ge$이어야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

즉, $\displaystyle a\ge\frac2\pi$일 때 $\displaystyle q_0>a$를 만족하는 모든 $\displaystyle q_0$에 대하여, 두 점 P, Q가 만나지 않는다. 따라서, $\displaystyle a$의 최솟값은 $\displaystyle \frac2\pi$이다.

(2) (1)에서와 같이 $\displaystyle h(t)$를 정의하면, $\displaystyle h(0)=-q_0$이고 $\displaystyle h^{\prime}(t)=t\cos4\pi t$이므로,$\displaystyle h(t)=\frac1{4\pi}t\sin4\pi t+\frac1{(4\pi)^2}\cos4\pi t-\frac1{(4\pi)^2}-q_0$이다.

이때, $\displaystyle r(t)$와 $\displaystyle c$를 다음과 같이 두면, $\displaystyle r(t)=\frac1{4\pi}t\sin4\pi t+\frac1{(4\pi)^2}\cos4\pi t,\ c=\frac1{(4\pi)^2}+q_0$, $\displaystyle h(t)=0$의 해는 $\displaystyle r(t)=c$의 해가 된다.$\displaystyle y=r(t)$의 그래프를 그리기 위해 $\displaystyle r(t)$의 극점을 구하면, $\displaystyle r^{\prime}(t)=t\cos4\pi t=0$에서 $\displaystyle t_k=\frac{2k+1}8,\ k=0,1,2,3$이 된다.각 $\displaystyle t_k$에서 $\displaystyle r(t_k)=\frac1{4\pi}t_k\sin\left(k+\frac12\right)\pi=\frac{t_k}{4\pi}(-1)^k=(-1)^k\frac{2k+1}{32\pi}$이다. $\displaystyle r(0)=r(1)=\frac1{(4\pi)^2}$이므로, 함수의 증감표는 다음과 같다.

함수의 그래프의 개형은 위의 오른쪽 그림과 같으며, $\displaystyle c>r(t_2)$ 혹은 $\displaystyle c<r(t_3)$일 때, $\displaystyle r(t)=c$의 해가 없다.$\displaystyle c=\frac1{(4\pi)^2}+q_0$이므로, $\displaystyle q_0>r(t_2)-\frac1{(4\pi)^2}\left(=\frac{5\pi-2}{32\pi^2}\right)$ 혹은 $\displaystyle q_0<r(t_3)-\frac1{(4\pi)^2}\left(=\frac{-7\pi-2}{32\pi^2}\right)$이면, $\displaystyle r(t)=c$의 해가 없다.

즉, $\displaystyle a\ge\frac{5\pi-2}{32\pi^2}$일 때, $\displaystyle q_0>a$인 모든 $\displaystyle q_0$에 대하여 $\displaystyle r(t)=c$의 해가 존재하지 않는다.따라서, 두 점 P, Q가 $\displaystyle 0<t<1$에서 만나지 않을 $\displaystyle a$의 최솟값은 $\displaystyle \frac{5\pi-2}{32\pi^2}$이다.