자연계열 4번

[논제 Ⅳ](1) 접점이 제1사분면에 있으므로 $\displaystyle 0<p<a,\ 0<q<1$이다.타원 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+y^2=1$ 위의 점 $\displaystyle (p,q)$에서 접선의 방정식은 $\displaystyle \frac{px}{a^2}+qy=1$이다.접선의 기울기는 $\displaystyle \frac{dq}{dp}=-\frac p{a^2q}$이다.$\displaystyle x=a$일 때, $\displaystyle \frac pa+qy=1$이므로, $\displaystyle \mathrm A\left(a,\frac{-p+a}{aq}\right)$이고, $\displaystyle y=1$일 때, $\displaystyle \frac{px}{a^2}+q=1$이므로, $\displaystyle \mathrm B\left(\frac{a^2(-q+1)}p,1\right)$이다.

삼각형 ABC의 넓이는$\displaystyle S=\frac12\cdot\overline{\mathrm{AC}}\cdot\overline{\mathrm{BC}}=\frac12\left(1-\frac{-p+a}{aq}\right)\left\{a-\frac{a^2(-q+1)}p\right\}=\frac{(p+aq-a)^2}{2pq}$이다.

(2) 삼각형 ABC의 넓이 $\displaystyle S$를 $\displaystyle p$에 대하여 미분하면 (여기서, $\displaystyle \frac{p^2}{a^2}+q^2=1$를 이용)$\displaystyle \frac{dS}{dp}=\frac{2(p+aq-a)\left(1+a\frac{dq}{dp}\right)pq-(p+aq-a)^2\left(q+p\frac{dq}{dp}\right)}{2p^2q^2}$이고,$\displaystyle \frac{dq}{dp}=-\frac p{a^2q}$와 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+y^2=1$를 이용하여 이를 정리하면$\displaystyle \frac{dS}{dp}=\frac{(p+aq-a)(-2p^2+ap-a^2q+a^2)}{2ap^2q^3}=\frac{(p-a)(q-1)(aq-p)}{p^2q^3}$이다.

$\displaystyle 0<p<a$이고 $\displaystyle 0<q<1$이므로 $\displaystyle p=\frac a{\sqrt2}$에서만 $\displaystyle \frac{dS}{dp}=0$이고, $\displaystyle p=\frac a{\sqrt2}$에서 $\displaystyle \frac{dS}{dp}$의 부호가 양에서 음으로 바뀐다. 따라서, 삼각형 ABC의 넓이는 $\displaystyle p=\frac a{\sqrt2}$에서 최댓값 $\displaystyle S=(3-2\sqrt2)a$을 가진다.