자연계열 3번

[논제 Ⅲ] 경희 금은방에서 현재 금 한 돈을 $\displaystyle A_{0}$만원의 가격에 판매하고 있다. 금 한 돈의 가격이 $\displaystyle 1$년마다 변한다고 할 때, $\displaystyle n$년 후의 금 한 돈의 가격을 $\displaystyle A_{n}$만원이라 하자. $\displaystyle A_{n}$은 $\displaystyle p$의 확률로 $\displaystyle uA_{n-1}$이 되고 $\displaystyle q=1-p$의 확률로 $\displaystyle dA_{n-1}$이 된다고 하자. (단, $\displaystyle n$은 자연수, $\displaystyle 0<d<1<u$이다.) 다음 물음에 답하시오.

(1) $\displaystyle p=\frac{1}{3}$, $\displaystyle u=2$, $\displaystyle d=\frac{1}{2}$, $\displaystyle A_{0}=20$이라 하자. 민국은 $\displaystyle 3$년 후에 금 한 돈을 $\displaystyle 3$년 동안 변한 금 한 돈의 가격 중에 가장 싼 값으로 구입하기로 경희 금은방과 약속하였다. 민국이 $\displaystyle 3$년 후에 이 금 한 돈 거래를 통해 얻는 이익의 기댓값을 구하고, 그 근거를 논술하시오. (예를 들어, 금 한 돈의 가격이 $\displaystyle 3$년 동안 $\displaystyle A_{1}=10$, $\displaystyle A_{2}=20$, $\displaystyle A_{3}=40$으로 변했다면 민국은 $\displaystyle 3$년 후 $\displaystyle 40$만원인 금 한 돈의 가격을 $\displaystyle 10$만원으로 구입하여 $\displaystyle 30$만원의 이익을 남긴다.) (15점)Comment. 대학 예시답안은 현재 가격 $\displaystyle A_0$도 최저가격을 정할 때 포함한다. $\displaystyle A_1,A_2,A_3$만 비교하면 이익의 기댓값은 $\displaystyle \frac{80}{9}$가 되므로, 여기서는 $\displaystyle A_0$부터 $\displaystyle A_3$까지의 최저가격으로 해석한다.

(2) 민국은 $\displaystyle 1$년 후에 금 한 돈의 가격 $\displaystyle A_{1}$만원이 $\displaystyle A_{0}$만원보다 비싼 경우에는 $\displaystyle A_{0}$만원의 가격으로 금 한 돈을 구입하고, $\displaystyle A_{0}$만원보다 싼 경우에는 금 한 돈을 구입하지 않기로 경희 금은방과 약속하였다. 민국이가 $\displaystyle 1$년 후에 얻는 이익을 $\displaystyle V_{1}$이라고 하자. $\displaystyle V_{0}$를 $\displaystyle V_{1}$의 기댓값이라고 할 때, 상수 $\displaystyle \beta$가 $\displaystyle A_{1}$의 가격에 상관없이 $\displaystyle V_{0}+\beta A_{0}=V_{1}+\beta A_{1}$을 만족한다. $\displaystyle p$와 $\displaystyle \beta$를 $\displaystyle u$와 $\displaystyle d$를 이용하여 나타내고, 그 근거를 논술하시오. (20점)