자연계열 2번

[논제 Ⅱ](1) 피타고라스 정리에 의하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}=2\sqrt{1+p^2}$이므로, A의 좌표는 $\displaystyle \left(\sqrt{1+p^2},0\right)$이다.또한 삼각형 ABC와 삼각형 AOE가 닮았으므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}:\overline{\mathrm{BC}}=\overline{\mathrm{AO}}:\overline{\mathrm{OE}}$이다.$\displaystyle 2:2p=\sqrt{1+p^2}:\overline{\mathrm{OE}}$에 의하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{OE}}=p\sqrt{1+p^2}$이고, E의 좌표는 $\displaystyle \left(0,p\sqrt{1+p^2}\right)$이다.$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$에 $\displaystyle \left(\sqrt{1+p^2},0\right)$을 대입하면 $\displaystyle \frac{1+p^2}{a^2}=1$이고, $\displaystyle a^2=1+p^2$이다.$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$에 $\displaystyle \left(0,p\sqrt{1+p^2}\right)$을 대입하면 $\displaystyle \frac{p^2(1+p^2)}{b^2}=1$이고, $\displaystyle b^2=p^2(1+p^2)$이다.$\displaystyle 0<p<1$이므로 $\displaystyle a^2-b^2=1+p^2-p^2(1+p^2)=1-p^4>0$이다.따라서 두 초점은 $\displaystyle x$축 위에 있고, 좌표는 $\displaystyle \left(\sqrt{1-p^4},0\right),\ \left(-\sqrt{1-p^4},0\right)$이다.

(2)

점 B에서 $\displaystyle x$축에 내린 수선의 발을 H라 하자.삼각형 ABC와 삼각형 AHB가 닮았으므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}:\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{AB}}:\overline{\mathrm{AH}},\ \overline{\mathrm{AC}}:\overline{\mathrm{CB}}=\overline{\mathrm{AB}}:\overline{\mathrm{BH}}$이다.$\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=2,\ \overline{\mathrm{BC}}=2p,\ \overline{\mathrm{AC}}=2\sqrt{1+p^2}$를 이용하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{AH}}=\frac2{\sqrt{1+p^2}},\ \overline{\mathrm{BH}}=\frac{2p}{\sqrt{1+p^2}}$이다.따라서 B의 좌표는 $\displaystyle \left(\sqrt{1+p^2}-\frac2{\sqrt{1+p^2}},\frac{2p}{\sqrt{1+p^2}}\right)=\left(-\frac{1-p^2}{\sqrt{1+p^2}},\frac{2p}{\sqrt{1+p^2}}\right)$이고,M의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac12\left(\sqrt{1+p^2}-\frac{1-p^2}{\sqrt{1+p^2}}\right),\frac12\left(0+\frac{2p}{\sqrt{1+p^2}}\right)\right)=\left(\frac{p^2}{\sqrt{1+p^2}},\frac p{\sqrt{1+p^2}}\right)$$\displaystyle \frac{x^2}{m^2}+\frac{y^2}{n^2}=1$에 $\displaystyle \left(\sqrt{1+p^2},0\right)$을 대입하면 $\displaystyle \frac{1+p^2}{m^2}=1$이고, $\displaystyle m^2=1+p^2$이다.$\displaystyle \frac{x^2}{m^2}+\frac{y^2}{n^2}=1$에 $\displaystyle \left(\frac{p^2}{\sqrt{1+p^2}},\frac p{\sqrt{1+p^2}}\right)$를 대입하고 $\displaystyle m^2=1+p^2$을 이용하면$\displaystyle \frac{p^4}{(1+p^2)^2}+\frac{p^2}{n^2(1+p^2)}=1$이고, 정리하면 $\displaystyle n^2=\frac{p^2(1+p^2)}{1+2p^2}$이다.$\displaystyle b^2=p^2(1+p^2)$이므로 $\displaystyle n^2=\frac{p^2(1+p^2)}{1+2p^2}=\frac{b^2}{1+2p^2}$이고,$\displaystyle 0<p<1$에 대하여 $\displaystyle \frac1{1+2p^2}<1$이므로 $\displaystyle n^2<b^2$이고, 따라서 $\displaystyle n<b$이다.