경희대 2023학년도 모의 의·약학계 1-1번 해설

Ⅰ. 다음 제시문을 읽고 논제에 답하시오. (60점)

[가] 평면 $\displaystyle \alpha$ 위에 있는 도형의 넓이를 $\displaystyle S$ , 이 도형의 평면 $\displaystyle \beta$ 위로의 정사영의 넓이를 $\displaystyle S^{\prime}$ 이라 할 때, 두 평면 $\displaystyle \alpha$ 와 $\displaystyle \beta$ 가 이루는 각의 크기를 $\displaystyle \theta\ (0^\circ\le\theta\le90^\circ)$ 라 하면 $\displaystyle S^{\prime}=S\cos\theta.$

[다] 미분가능한 두 함수 $\displaystyle f(x)$ 와 $\displaystyle g(x)\ (g(x)\ne0)$ 에 대하여(1) $\displaystyle \left\{\frac1{g(x)}\right\}^{\prime}=-\frac{g^{\prime}(x)}{\{g(x)\}^2}$ (2) $\displaystyle \left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}^{\prime}=\frac{f^{\prime}(x)g(x)-f(x)g^{\prime}(x)}{\{g(x)\}^2}$

[라] 미분가능한 함수 $\displaystyle f(x)$ 에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(a)=0$ 이고, $\displaystyle x=a$ 의 좌우에서(1) $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 극대이다.(2) $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 의 부호가 음에서 양으로 바뀌면 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 극소이다.

[논제 Ⅰ-1] 가로가 3, 세로가 2인 직사각형을 밑면으로 하는 투명한 직육면체 안에 반지름의 길이가 1인 공 3개가 들어 있다. 각각의 공은 직육면체에 내접하고, 가운데 공은 아래의 그림과 같이 나머지 두 공과 외접하고 있다. 단, 투명한 직육면체의 두께는 무시할 수 있고, 지면은 직육면체의 밑면과 평행하다.

(1) 맨 위의 공이 직육면체의 위쪽 밑면에 내접할 때, 직육면체의 높이를 구하고, 그 근거를 논술하시오. (10점)

(2) 그림과 같이 태양광선이 지면과 $\displaystyle 30^\circ$ 의 각을 이루며 직육면체의 우측 옆면을 정면으로 비추고 있을 때, 좌측의 지면에 드리워진 그림자의 넓이를 구하고, 그 근거를 논술하시오. (20점)

경희대 2023학년도 모의 의·약학계 1-1번 · mathesis.kr/archive/khu/2023mo/uiyak_1_1

[논제 Ⅰ-1] 공 세 개가 들어있는 투명 직육면체를 정면에서 바라보면 다음 그림과 같다. 붉은 선은 태양광선을 뜻한다.

(1) 초록색 선에 의해서 만들어진 직각삼각형의 빗변의 길이가 2, 밑변의 길이가 1이므로 각 $\displaystyle \theta$ 는 $\displaystyle 60^\circ$ 임을 알 수 있다. 직육면체의 높이는 $\displaystyle 2+2\sqrt3$ .

(2) 태양광선 방향에서 본 공의 모양은 다음과 같다.

단면의 넓이를 구하기 위해 세 원의 넓이에서 두 원이 겹쳐진 부분의 넓이, 즉, 주황색으로 색칠된 곳의 넓이를 구해서 2배 후 빼면 된다. <그림 2>의 부채꼴의 사잇각 $\displaystyle \theta^{\prime}$ 는 <그림 1>으로부터 $\displaystyle \theta^{\prime}=2\theta=120^\circ$ 임을 확인할 수 있다. 색칠된 부분의 넓이는 반지름이 1이고, 사잇각이 $\displaystyle 120^\circ$ 인 부채꼴의 넓이에서 주황색 삼각형(두 변의 길이가 1이고 그 사잇각이 $\displaystyle 120^\circ$ 인 삼각형)의 넓이를 빼서 구할 수 있다. $\displaystyle \frac13\pi-\frac12\sin\frac{2\pi}3=\frac13\pi-\frac{\sqrt3}4.$ 따라서 <그림 2>의 단면의 넓이는 $\displaystyle 3\pi-2\left(\frac13\pi-\frac{\sqrt3}4\right)=\frac73\pi+\frac{\sqrt3}2$ 이고, 마지막으로 <그림 3>과 같이 (푸른 색 선으로 표현된) 단면의 넓이로부터 지면에 드리워진 그림자의 넓이를 구할 수 있다. $\displaystyle \left(\frac73\pi+\frac{\sqrt3}2\right)\div\cos\frac\pi3=\frac{14}3\pi+\sqrt3.$

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의·약학계 1-1번

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