경희대 2024학년도 모의 의·약학계 1-2번 해설

Ⅰ. 다음 제시문을 읽고 논제에 답하시오. (60점)

[나] 함수 $\displaystyle y=f(x)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속이면, 최대·최소 정리에 따라 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 이 구간에서 최댓값과 최솟값을 가진다. 이때 이 구간에서 $\displaystyle f(x)$ 의 극댓값, 극솟값, $\displaystyle f(a),f(b)$ 중에서 가장 큰 값이 최댓값, 가장 작은 값이 최솟값이 된다.

[다] 삼각형 ABC에서 $\displaystyle \angle A,\angle B,\angle C$ 의 크기를 각각 $\displaystyle A,B,C$ 라 하고, 꼭짓점 A, B, C와 마주 보는 변 BC, CA, AB의 길이를 각각 $\displaystyle a,b,c$ 로 나타내기로 한다. 삼각형 ABC의 넓이를 $\displaystyle S$ 라고 하면 $\displaystyle S=\frac12ab\sin C=\frac12bc\sin A=\frac12ca\sin B$

[라] 영벡터가 아닌 두 평면벡터 $\displaystyle \vec a=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \vec b=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ 에 대하여 두 벡터가 이루는 각의 크기를 $\displaystyle \theta=\angle\mathrm{AOB}$ 라고 할 때, 두 벡터의 내적 $\displaystyle \vec a\cdot\vec b$ 를 다음과 같이 정의한다. $\displaystyle \begin{array}{ll}0^\circ\le\theta\le90^\circ\text{이면}&\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta\\90^\circ<\theta\le180^\circ\text{이면}&\vec a\cdot\vec b=-|\vec a||\vec b|\cos(180^\circ-\theta)\end{array}$

[논제 Ⅰ-2] 중심이 O이고 반지름의 길이가 1인 원 위에 서로 다른 세 점 A, B, C가 있고, 점 O와 점 A를 잇는 선분의 중점을 $\displaystyle \mathrm O^{\prime}$ 이라고 하자. 점 $\displaystyle \mathrm O^{\prime}$ 으로부터 세 점 A, B, C로의 세 벡터가 상수 $\displaystyle -3\le k\le3$ 에 대해 다음의 식을 만족한다고 할 때, 다음 물음에 답하시오. [배점 32점] $\displaystyle k\overrightarrow{\mathrm O^{\prime}\mathrm A}=\overrightarrow{\mathrm O^{\prime}\mathrm B}+3\overrightarrow{\mathrm O^{\prime}\mathrm C}$

(1) 점 O로부터 두 점 B, C로의 두 벡터의 내적 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ 의 최댓값을 구하고, 그 근거를 논술하시오. (12점)

(2) (1)에서 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ 의 값이 최대일 때, 삼각형 ABC의 넓이를 구하고, 그 근거를 논술하시오. (20점)

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[논제 Ⅰ-2] 주어진 식 $\displaystyle k\overrightarrow{\mathrm O^{\prime}\mathrm A}=\overrightarrow{\mathrm O^{\prime}\mathrm B}+3\overrightarrow{\mathrm O^{\prime}\mathrm C}$ 는 다음과 같이 쓸 수 있고, $\displaystyle k(\overrightarrow{\mathrm O^{\prime}\mathrm O}+\overrightarrow{\mathrm{OA}})=(\overrightarrow{\mathrm O^{\prime}\mathrm O}+\overrightarrow{\mathrm{OB}})+3(\overrightarrow{\mathrm O^{\prime}\mathrm O}+\overrightarrow{\mathrm{OC}})$ 위의 식에 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm O^{\prime}\mathrm O}=-\frac12\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ 을 대입하면 다음의 식을 얻을 수 있다. $\displaystyle \left(\frac k2+2\right)\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}+3\overrightarrow{\mathrm{OC}}\qquad\text{----------(가)}$ (1) 식-(가)의 양변을 제곱하면 다음과 같다. $\displaystyle \frac14(k+4)^2|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|^2=|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2+6(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}})+9|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|^2$ 따라서 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\frac1{24}(k+4)^2-\frac53$ 이고, $\displaystyle -3\le k\le3$ 의 범위에 따라 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ 의 최댓값은 $\displaystyle k=3$ 일 때 $\displaystyle \frac{49}{24}-\frac53=\frac38$ 이다.

(2) 두 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OB}}$ 와 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OC}}$ 가 이루는 각을 $\displaystyle \theta$ 라 하자. 다음의 식 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}=|\overrightarrow{\mathrm{OB}}||\overrightarrow{\mathrm{OC}}|\cos\theta$ 에 위에서 구한 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ 의 최댓값 $\displaystyle \frac38$ 을 대입하면 다음의 값을 얻을 수 있다. $\displaystyle \cos\theta=\frac38,\quad\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}=\frac{\sqrt{55}}8$ 따라서 삼각형 OBC의 넓이는 $\displaystyle \triangle\mathrm{OBC}=\frac12|\overrightarrow{\mathrm{OB}}||\overrightarrow{\mathrm{OC}}|\sin\theta=\frac{\sqrt{55}}{16}$ 이다.

위에서 구한 $\displaystyle k=3$ 을 식-(가)에 대입하면 $\displaystyle \frac72\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}+3\overrightarrow{\mathrm{OC}}\quad\left(\text{즉, }\frac78\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\frac14\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac34\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right)$ 이므로, 선분 CB 위의 한 점 P를 $\displaystyle |\overline{\mathrm{CP}}|:|\overline{\mathrm{PB}}|=1:3$ 을 만족하도록 찾을 수 있다. 즉, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac14\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac34\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ 이기 때문에 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac78\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ 임을 알 수 있다. 따라서 $\displaystyle |\overline{\mathrm{AP}}|=\frac17|\overline{\mathrm{OP}}|$ 이고, $\displaystyle \triangle\mathrm{ABC}=\frac17\triangle\mathrm{OBC}=\frac{\sqrt{55}}{112}$

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의·약학계 1-2번

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