의·약학계 1-1번

[논제 Ⅰ-1] 좌표평면 위에 세 개의 직선 $\displaystyle y=x+b,\ x=\frac1b,\ y=0$과 곡선 $\displaystyle y=\frac1x$을 그리고, 둘러싸인 영역을 생각하면 다음과 같다. 이 영역은 다음과 같이 점 P, Q, R, S를 잇는 선분 및 곡선으로 둘러싸여 있다.

(1) 삼각형 PQT의 넓이를 구하기 위해 점 Q의 $\displaystyle x$좌표를 구하면, $\displaystyle x+b=\frac1x$로부터 $\displaystyle x=\frac{-b+\sqrt{b^2+4}}2$를 얻는다.삼각형 PQT는 직각이등변삼각형이므로 넓이는 $\displaystyle \frac12\left(\frac{-b+\sqrt{b^2+4}}2+b\right)^2=\frac12\left(\frac{b+\sqrt{b^2+4}}2\right)^2$이다. 점 Q와 R을 잇는 곡선 아래 영역의 넓이를 구하기 위해 함수 $\displaystyle f(x)=\frac1x$를 적분하면,$\displaystyle \int_{\frac{-b+\sqrt{b^2+4}}2}^{1/b}\frac1x\,dx=\ln\frac1b-\ln\frac{-b+\sqrt{b^2+4}}2=\ln\frac{b+\sqrt{b^2+4}}{2b}$를 얻는다. 따라서, 넓이 $\displaystyle B(b)$는$\displaystyle B(b)=\frac12\left(\frac{b+\sqrt{b^2+4}}2\right)^2+\ln\frac{b+\sqrt{b^2+4}}{2b}$이고,$\displaystyle \begin{aligned}B(b)+\ln b&=\frac12\left(\frac{b+\sqrt{b^2+4}}2\right)^2+\ln\frac{b+\sqrt{b^2+4}}{2b}+\ln b\\&=\frac12\left(\frac{b+\sqrt{b^2+4}}2\right)^2+\ln\frac{b+\sqrt{b^2+4}}2=\frac12t^2+\ln t\end{aligned}$이다. 따라서, $\displaystyle f(t)=\frac12t^2+\ln t$이고, $\displaystyle \lim_{t\to1+}f(t)=\frac12$이다.

(2) (1)에서 구한 $\displaystyle B(b)$를 이용하면, $\displaystyle B(b)-\frac12b^2=\frac12+\frac{b\sqrt{b^2+4}-b^2}4+\ln\frac tb=\frac12+\frac b{2t}+\ln\frac tb=\frac12+\frac1{2s}+\ln s$이다. 따라서, $\displaystyle g(s)=\frac12+\frac1{2s}+\ln s$이고, $\displaystyle \lim_{s\to1+}g(s)=1$이다. $\displaystyle 2\le s\le3$에서 $\displaystyle g(s)$의 최댓값을 구하기 위해 극댓값 또는 극솟값을 조사하면, $\displaystyle g^{\prime}(s)=-\frac1{2s^2}+\frac1s=\frac{-1+2s}{2s^2}>0$이므로 $\displaystyle 2\le s\le3$에서 극값을 가지지 않는다. 또한, $\displaystyle 2\le s\le3$에서 함수 $\displaystyle g(s)$는 증가하므로, 최댓값은 $\displaystyle g(3)=\frac23+\ln3$이다.