의·약학계 1번

[논제 Ⅰ-1] 좌표평면 위에 세 개의 직선 $\displaystyle y=x+b,\ x=\frac1b,\ y=0$과 곡선 $\displaystyle y=\frac1x$을 그리고, 둘러싸인 영역을 생각하면 다음과 같다. 이 영역은 다음과 같이 점 P, Q, R, S를 잇는 선분 및 곡선으로 둘러싸여 있다.

(1) 삼각형 PQT의 넓이를 구하기 위해 점 Q의 $\displaystyle x$좌표를 구하면, $\displaystyle x+b=\frac1x$로부터 $\displaystyle x=\frac{-b+\sqrt{b^2+4}}2$를 얻는다.삼각형 PQT는 직각이등변삼각형이므로 넓이는 $\displaystyle \frac12\left(\frac{-b+\sqrt{b^2+4}}2+b\right)^2=\frac12\left(\frac{b+\sqrt{b^2+4}}2\right)^2$이다. 점 Q와 R을 잇는 곡선 아래 영역의 넓이를 구하기 위해 함수 $\displaystyle f(x)=\frac1x$를 적분하면,$\displaystyle \int_{\frac{-b+\sqrt{b^2+4}}2}^{1/b}\frac1x\,dx=\ln\frac1b-\ln\frac{-b+\sqrt{b^2+4}}2=\ln\frac{b+\sqrt{b^2+4}}{2b}$를 얻는다. 따라서, 넓이 $\displaystyle B(b)$는$\displaystyle B(b)=\frac12\left(\frac{b+\sqrt{b^2+4}}2\right)^2+\ln\frac{b+\sqrt{b^2+4}}{2b}$이고,$\displaystyle \begin{aligned}B(b)+\ln b&=\frac12\left(\frac{b+\sqrt{b^2+4}}2\right)^2+\ln\frac{b+\sqrt{b^2+4}}{2b}+\ln b\\&=\frac12\left(\frac{b+\sqrt{b^2+4}}2\right)^2+\ln\frac{b+\sqrt{b^2+4}}2=\frac12t^2+\ln t\end{aligned}$이다. 따라서, $\displaystyle f(t)=\frac12t^2+\ln t$이고, $\displaystyle \lim_{t\to1+}f(t)=\frac12$이다.

(2) (1)에서 구한 $\displaystyle B(b)$를 이용하면, $\displaystyle B(b)-\frac12b^2=\frac12+\frac{b\sqrt{b^2+4}-b^2}4+\ln\frac tb=\frac12+\frac b{2t}+\ln\frac tb=\frac12+\frac1{2s}+\ln s$이다. 따라서, $\displaystyle g(s)=\frac12+\frac1{2s}+\ln s$이고, $\displaystyle \lim_{s\to1+}g(s)=1$이다. $\displaystyle 2\le s\le3$에서 $\displaystyle g(s)$의 최댓값을 구하기 위해 극댓값 또는 극솟값을 조사하면, $\displaystyle g^{\prime}(s)=-\frac1{2s^2}+\frac1s=\frac{-1+2s}{2s^2}>0$이므로 $\displaystyle 2\le s\le3$에서 극값을 가지지 않는다. 또한, $\displaystyle 2\le s\le3$에서 함수 $\displaystyle g(s)$는 증가하므로, 최댓값은 $\displaystyle g(3)=\frac23+\ln3$이다.

[논제 Ⅰ-2] 주어진 식 $\displaystyle k\overrightarrow{\mathrm O^{\prime}\mathrm A}=\overrightarrow{\mathrm O^{\prime}\mathrm B}+3\overrightarrow{\mathrm O^{\prime}\mathrm C}$는 다음과 같이 쓸 수 있고,$\displaystyle k(\overrightarrow{\mathrm O^{\prime}\mathrm O}+\overrightarrow{\mathrm{OA}})=(\overrightarrow{\mathrm O^{\prime}\mathrm O}+\overrightarrow{\mathrm{OB}})+3(\overrightarrow{\mathrm O^{\prime}\mathrm O}+\overrightarrow{\mathrm{OC}})$위의 식에 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm O^{\prime}\mathrm O}=-\frac12\overrightarrow{\mathrm{OA}}$을 대입하면 다음의 식을 얻을 수 있다.$\displaystyle \left(\frac k2+2\right)\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}+3\overrightarrow{\mathrm{OC}}\qquad\text{----------(가)}$(1) 식-(가)의 양변을 제곱하면 다음과 같다.$\displaystyle \frac14(k+4)^2|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|^2=|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2+6(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}})+9|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|^2$따라서 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\frac1{24}(k+4)^2-\frac53$이고, $\displaystyle -3\le k\le3$의 범위에 따라 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}$의 최댓값은 $\displaystyle k=3$일 때 $\displaystyle \frac{49}{24}-\frac53=\frac38$이다.

(2) 두 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OB}}$와 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OC}}$가 이루는 각을 $\displaystyle \theta$라 하자. 다음의 식$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}=|\overrightarrow{\mathrm{OB}}||\overrightarrow{\mathrm{OC}}|\cos\theta$에 위에서 구한 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}$의 최댓값 $\displaystyle \frac38$을 대입하면 다음의 값을 얻을 수 있다.$\displaystyle \cos\theta=\frac38,\quad\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}=\frac{\sqrt{55}}8$따라서 삼각형 OBC의 넓이는 $\displaystyle \triangle\mathrm{OBC}=\frac12|\overrightarrow{\mathrm{OB}}||\overrightarrow{\mathrm{OC}}|\sin\theta=\frac{\sqrt{55}}{16}$이다.

위에서 구한 $\displaystyle k=3$을 식-(가)에 대입하면$\displaystyle \frac72\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}+3\overrightarrow{\mathrm{OC}}\quad\left(\text{즉, }\frac78\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\frac14\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac34\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right)$이므로, 선분 CB 위의 한 점 P를 $\displaystyle |\overline{\mathrm{CP}}|:|\overline{\mathrm{PB}}|=1:3$을 만족하도록 찾을 수 있다. 즉, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac14\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac34\overrightarrow{\mathrm{OC}}$이기 때문에 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac78\overrightarrow{\mathrm{OA}}$임을 알 수 있다. 따라서 $\displaystyle |\overline{\mathrm{AP}}|=\frac17|\overline{\mathrm{OP}}|$이고,$\displaystyle \triangle\mathrm{ABC}=\frac17\triangle\mathrm{OBC}=\frac{\sqrt{55}}{112}$