수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.

의·약학계 1-2번

경희대 2024학년도 수시 의·약학계 1-2번 · mathesis.kr/archive/khu/2024su/uiyak_1_2

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문제

[라] 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 x=a\displaystyle x=a에서 미분가능하면 f(x)\displaystyle f(x)는 x=a\displaystyle x=a에서 연속이다.[마] 함수 f(x)\displaystyle f(x)의 x=a\displaystyle x=a에서의 극한값이 L\displaystyle L이면 x=a\displaystyle x=a에서의 우극한과 좌극한이 모두 존재하고 그 값은 모두 L\displaystyle L과 같다. 또 그 역도 성립하므로 다음이 성립한다.lim⁡x→af(x)=L⇔lim⁡x→a+f(x)=lim⁡x→a−f(x)=L\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=L\quad\Leftrightarrow\quad\lim_{x\to a+}f(x)=\lim_{x\to a-}f(x)=L[바] 미분가능한 함수 f(x)\displaystyle f(x)의 도함수는f′(x)=lim⁡Δx→0f(x+Δx)−f(x)Δx\displaystyle f^{\prime}(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}[사] 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x) 위의 점 (a,f(a))\displaystyle (a,f(a))에서 접하는 접선의 방정식은y−f(a)=f′(a)(x−a)\displaystyle y-f(a)=f^{\prime}(a)(x-a)[아] 두 함수 f(x),g(x)\displaystyle f(x),g(x)가 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속일 때, 두 곡선 y=f(x), y=g(x)\displaystyle y=f(x),\ y=g(x)와 두 직선 x=a, x=b\displaystyle x=a,\ x=b로 둘러싸인 도형의 넓이 S\displaystyle S는S=∫ab∣f(x)−g(x)∣dx\displaystyle S=\int_a^b|f(x)-g(x)|dx

[논제 Ⅰ-2] 실수 전체에서 정의된 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 아래 조건들을 모두 만족할 때, 다음 물음에 답하시오.

(가) f(x)\displaystyle f(x)는 각 구간 (−∞,1), (1,∞)\displaystyle (-\infty,1),\ (1,\infty)에서 이차함수이다.(나) f(x)\displaystyle f(x)는 미분가능한 함수이다.(다) f(0)=f′(0)=f(2)=f′(2)=1\displaystyle f(0)=f^{\prime}(0)=f(2)=f^{\prime}(2)=1이다.

(1) f′(1)\displaystyle f^{\prime}(1)의 값을 구하고, 그 근거를 논술하시오. (12점)

(2) 상수 a\displaystyle a에 대하여 x1=a, x2=a+12\displaystyle x_1=a,\ x_2=a+\frac12이라 하자. 함수 y=f(x)\displaystyle y=f(x)의 그래프 위의 두 점 (x1,f(x1)), (x2,f(x2))\displaystyle (x_1,f(x_1)),\ (x_2,f(x_2))에서의 접선을 각각 l,m\displaystyle l,m이라 할 때, l\displaystyle l과 m\displaystyle m은 만나지 않는다. 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x)와 두 직선 l, x=x2\displaystyle l,\ x=x_2로 둘러싸인 도형의 넓이를 S\displaystyle S라고 할 때, a\displaystyle a의 값과 48S\displaystyle 48S를 구하고, 그 근거를 논술하시오. (20점)Comment. 주어진 곡선과 두 직선으로 둘러싸인 도형은 직선 x=x2\displaystyle x=x_2의 왼쪽과 오른쪽에 하나씩 생긴다. 왼쪽 도형의 넓이를 택하면 48S=32\displaystyle 48S=\frac32, 오른쪽 도형의 넓이를 택하면 48S=2\displaystyle 48S=\sqrt2이므로, 어느 도형의 넓이를 구하는지 명확하지 않다. 대학은 넓이를 구하는 부분을 문제 오류로 인정하여 전원에게 10점을 부여했다.

해설강의 준비중

경희대 2024학년도 수시 의·약학계 1-2번 · mathesis.kr/archive/khu/2024su/uiyak_1_2

+8점 · 주어진 조건에 맞는 각 구간 별 이차함수를 구한다.

[논제 Ⅰ-2](1) 함수 f(x)\displaystyle f(x)를 구간 (−∞,1)\displaystyle (-\infty,1)에서 이차함수 g(x)\displaystyle g(x), 구간 (1,∞)\displaystyle (1,\infty)에서 이차함수 h(x)\displaystyle h(x)라 두자. 이때, g(x)\displaystyle g(x)는 f(0)=f′(0)=1\displaystyle f(0)=f^{\prime}(0)=1을 만족하는 이차함수이므로, g′(x)=bx+1, g(x)=12bx2+x+1\displaystyle g^{\prime}(x)=bx+1,\ g(x)=\frac12bx^2+x+1이다.같은 방법으로, f(2)=f′(2)=1\displaystyle f(2)=f^{\prime}(2)=1이므로 h′(x)=c(x−2)+1, h(x)=c2(x−2)2+(x−2)+1\displaystyle h^{\prime}(x)=c(x-2)+1,\ h(x)=\frac c2(x-2)^2+(x-2)+1이다.f(x)\displaystyle f(x)가 미분가능한 함수이므로, f(x)\displaystyle f(x)는 x=1\displaystyle x=1에서 연속이고 미분계수가 존재한다.즉, f(x)\displaystyle f(x)는 x=1\displaystyle x=1에서 연속이므로 g(1)=lim⁡x→1−f(x)=f(1)=lim⁡x→1+f(x)=h(1)\displaystyle g(1)=\lim_{x\to1-}f(x)=f(1)=\lim_{x\to1+}f(x)=h(1)이다.이를 이용하면, 12b+2=12c\displaystyle \frac12b+2=\frac12c이고,f(x)\displaystyle f(x)의 x=1\displaystyle x=1에서 미분계수의 존재성으로부터lim⁡Δx→0−f(1+Δx)−f(1)Δx=f′(1)=lim⁡Δx→0+f(1+Δx)−f(1)Δx\displaystyle \lim_{\Delta x\to0-}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=f^{\prime}(1)=\lim_{\Delta x\to0+}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}이므로,lim⁡Δx→0−f(1+Δx)−f(1)Δx=lim⁡Δx→0−g(1+Δx)−g(1)Δx=lim⁡Δx→0−12b(1+Δx)2+(1+Δx)+1−(12b+1+1)Δx=lim⁡Δx→0−(b+1+12b⋅Δx)=b+1\displaystyle \begin{aligned}\lim_{\Delta x\to0-}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}&=\lim_{\Delta x\to0-}\frac{g(1+\Delta x)-g(1)}{\Delta x}\\&=\lim_{\Delta x\to0-}\frac{\frac12b(1+\Delta x)^2+(1+\Delta x)+1-(\frac12b+1+1)}{\Delta x}\\&=\lim_{\Delta x\to0-}\left(b+1+\frac12b\cdot\Delta x\right)=b+1\end{aligned}lim⁡Δx→0+f(1+Δx)−f(1)Δx=lim⁡Δx→0+h(1+Δx)−h(1)Δx=lim⁡Δx→0+c2(1+Δx−2)2+(1+Δx−2)+1−(c2−1+1)Δx=lim⁡Δx→0+(c2⋅Δx−c+1)=−c+1\displaystyle \begin{aligned}\lim_{\Delta x\to0+}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}&=\lim_{\Delta x\to0+}\frac{h(1+\Delta x)-h(1)}{\Delta x}\\&=\lim_{\Delta x\to0+}\frac{\frac c2(1+\Delta x-2)^2+(1+\Delta x-2)+1-(\frac c2-1+1)}{\Delta x}\\&=\lim_{\Delta x\to0+}\left(\frac c2\cdot\Delta x-c+1\right)=-c+1\end{aligned}에 의해,b+1=−c+1\displaystyle b+1=-c+1이고, b=−2, c=2\displaystyle b=-2,\ c=2이다.g(x)=−x2+x+1, h(x)=x2−3x+3\displaystyle g(x)=-x^2+x+1,\ h(x)=x^2-3x+3이므로 각 구간에서 f(x)\displaystyle f(x)는 다음과 같다f(x)={g(x)(x≤1)h(x)(x≥1)\displaystyle f(x)=\begin{cases}g(x)&(x\le1)\\h(x)&(x\ge1)\end{cases}

+4점 · f′(1)\displaystyle f^{\prime}(1)의 값을 구한다.

따라서 f′(1)=b+1=−1\displaystyle f^{\prime}(1)=b+1=-1이다.

+5점 · 12<a<1\displaystyle \frac12<a<1임을 파악한다.

(2) x1=a, x2=a+12\displaystyle x_1=a,\ x_2=a+\frac12에서 f(x1)\displaystyle f(x_1)과 f(x2)\displaystyle f(x_2)는 a\displaystyle a의 값의 범위에 따라 다음과 같다.a≤12일 때f(x1)=g(x1),f(x2)=g(x2)12<a<1일 때f(x1)=g(x1),f(x2)=h(x2)a≥1일 때f(x1)=h(x1),f(x2)=h(x2)\displaystyle \begin{array}{lll}a\le\frac12\text{일 때}&f(x_1)=g(x_1),&f(x_2)=g(x_2)\\\frac12<a<1\text{일 때}&f(x_1)=g(x_1),&f(x_2)=h(x_2)\\a\ge1\text{일 때}&f(x_1)=h(x_1),&f(x_2)=h(x_2)\end{array}두 직선 l\displaystyle l과 m\displaystyle m이 만나지 않으려면 두 직선의 기울기가 같아야 하므로, x1\displaystyle x_1과 x2\displaystyle x_2는 각각 이차함수 g\displaystyle g와 h\displaystyle h가 정의되는 구간에 속해야 한다.

+5점 · a\displaystyle a의 값을 구한다.

따라서 12<a<1\displaystyle \frac12<a<1이고, 두 직선의 기울기가 같은 조건을 이용하여 −2a+1=2(a+12)−3\displaystyle -2a+1=2\left(a+\frac12\right)-3, 즉 a=34\displaystyle a=\frac34이다.

채점기준배점
둘러싸인 도형의 넓이를 구한다.10점

위의 세 단계 중 마지막 단계인 도형의 넓이를 구하는 부분에 배정된 부분점수 10점은 문제 오류로 인해 전원 10점 부여함

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