의·약학계 1번

[논제 Ⅰ-1](1) $\displaystyle \left|\overrightarrow{\mathrm O_1\mathrm M}+\overrightarrow{\mathrm O_2\mathrm N}\right|$의 최솟값 $\displaystyle \frac{2\sqrt3}3$은 $\displaystyle \left|\overrightarrow{\mathrm O_1\mathrm M}+\overrightarrow{\mathrm O_2\mathrm N}\right|^2$의 값이 최소일 때 구할 수 있다. 따라서 다음의 식에 따라$\displaystyle \left|\overrightarrow{\mathrm O_1\mathrm M}+\overrightarrow{\mathrm O_2\mathrm N}\right|^2=|\overrightarrow{\mathrm O_1\mathrm M}|^2+2(\overrightarrow{\mathrm O_1\mathrm M}\cdot\overrightarrow{\mathrm O_2\mathrm N})+|\overrightarrow{\mathrm O_2\mathrm N}|^2=\frac43$두 벡터의 내적 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm O_1\mathrm M}\cdot\overrightarrow{\mathrm O_2\mathrm N}$의 최솟값이 $\displaystyle -\frac13$이 되도록 하는 점 M과 점 N의 위치를 찾도록 한다. 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm O_2\mathrm N}$을 점 $\displaystyle \mathrm O_1$이 시점이 되도록 평행이동한 벡터를 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm O_1\mathrm N^{\prime}}$이라고 하면 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm O_2\mathrm N}=\overrightarrow{\mathrm O_1\mathrm N^{\prime}}$이고, 두 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm O_1\mathrm M}$과 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm O_1\mathrm N^{\prime}}$이 이루는 각을 $\displaystyle \theta$라고 할 때, 다음의 식을 얻을 수 있으므로$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm O_1\mathrm M}\cdot\overrightarrow{\mathrm O_2\mathrm N}=\overrightarrow{\mathrm O_1\mathrm M}\cdot\overrightarrow{\mathrm O_1\mathrm N^{\prime}}=|\overrightarrow{\mathrm O_1\mathrm M}||\overrightarrow{\mathrm O_1\mathrm N^{\prime}}|\cos\theta=\cos\theta$$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm O_1\mathrm M}\cdot\overrightarrow{\mathrm O_2\mathrm N}$의 최솟값 $\displaystyle -\frac13$은 $\displaystyle \cos\theta$가 최소일 때 구할 수 있다. 이는 $\displaystyle \theta$가 최대일 때이므로, 점 M이 점 P와 일치하고, 점 $\displaystyle \mathrm N^{\prime}$이 점 A와 일치할 때, (즉, 점 N이 점 Q와 일치할 때) 얻을 수 있다. 따라서 두 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm O_1\mathrm P}$와 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm O_1\mathrm A}$가 이루는 각이 $\displaystyle \theta$가 되고, $\displaystyle \cos\theta=-\frac13$을 만족한다.

이때, 점 P로부터 선분 AB에 내린 수선의 발을 H라고 하면 $\displaystyle \angle\mathrm{PO}_1\mathrm H=\pi-\theta$이므로 선분 $\displaystyle \mathrm O_1\mathrm H$의 길이는$\displaystyle \overline{\mathrm O_1\mathrm H}=\cos(\pi-\theta)=-\cos\theta=\frac13$따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm O_1\mathrm H}=\overline{\mathrm{HO}_2}$이므로$\displaystyle \overline{\mathrm O_1\mathrm O_2}=\overline{\mathrm O_1\mathrm H}+\overline{\mathrm{HO}_2}=\frac23$

(2) 아래 그림과 같이 선분 AB를 $\displaystyle x$축, 선분 CD를 $\displaystyle y$축으로 하는 좌표평면을 잡으면 점 $\displaystyle \mathrm O_2$는 원점이다.

(1)에 의해 직각삼각형 $\displaystyle \mathrm O_1\mathrm O_2\mathrm R$에서 $\displaystyle \mathrm O_1\left(-\frac23,0\right),\ \mathrm O_2(0,0)$이고, 선분 $\displaystyle \mathrm O_2\mathrm R$의 길이는$\displaystyle \overline{\mathrm O_2\mathrm R}=\sqrt{1-\overline{\mathrm O_1\mathrm O_2}^2}=\frac{\sqrt5}3$이므로 $\displaystyle \mathrm R\left(0,\frac{\sqrt5}3\right)$이다.또한 (1)에서 점 M은 점 P와 일치하고, $\displaystyle \overline{\mathrm O_1\mathrm H}=\overline{\mathrm{HO}_2}=\frac13$이므로 $\displaystyle \mathrm H\left(-\frac13,0\right)$이다. 선분 MH의 길이는$\displaystyle \overline{\mathrm{MH}}=\sin(\pi-\theta)=\sqrt{1-\cos^2(\pi-\theta)}=\frac{2\sqrt2}3$이므로 $\displaystyle \mathrm M\left(-\frac13,\frac{2\sqrt2}3\right)$이다.

따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{MR}}^2=\left(\frac13\right)^2+\left(\frac{\sqrt5}3-\frac{2\sqrt2}3\right)^2=\frac{14}9-\frac{4\sqrt{10}}9$.

[논제 Ⅰ-2](1) 함수 $\displaystyle f(x)$를 구간 $\displaystyle (-\infty,1)$에서 이차함수 $\displaystyle g(x)$, 구간 $\displaystyle (1,\infty)$에서 이차함수 $\displaystyle h(x)$라 두자. 이때, $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle f(0)=f^{\prime}(0)=1$을 만족하는 이차함수이므로, $\displaystyle g^{\prime}(x)=bx+1,\ g(x)=\frac12bx^2+x+1$이다.같은 방법으로, $\displaystyle f(2)=f^{\prime}(2)=1$이므로 $\displaystyle h^{\prime}(x)=c(x-2)+1,\ h(x)=\frac c2(x-2)^2+(x-2)+1$이다.$\displaystyle f(x)$가 미분가능한 함수이므로, $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=1$에서 연속이고 미분계수가 존재한다.즉, $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=1$에서 연속이므로 $\displaystyle g(1)=\lim_{x\to1-}f(x)=f(1)=\lim_{x\to1+}f(x)=h(1)$이다.이를 이용하면, $\displaystyle \frac12b+2=\frac12c$이고,$\displaystyle f(x)$의 $\displaystyle x=1$에서 미분계수의 존재성으로부터$\displaystyle \lim_{\Delta x\to0-}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=f^{\prime}(1)=\lim_{\Delta x\to0+}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}$이므로,$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{\Delta x\to0-}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}&=\lim_{\Delta x\to0-}\frac{g(1+\Delta x)-g(1)}{\Delta x}\\&=\lim_{\Delta x\to0-}\frac{\frac12b(1+\Delta x)^2+(1+\Delta x)+1-(\frac12b+1+1)}{\Delta x}\\&=\lim_{\Delta x\to0-}\left(b+1+\frac12b\cdot\Delta x\right)=b+1\end{aligned}$$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{\Delta x\to0+}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}&=\lim_{\Delta x\to0+}\frac{h(1+\Delta x)-h(1)}{\Delta x}\\&=\lim_{\Delta x\to0+}\frac{\frac c2(1+\Delta x-2)^2+(1+\Delta x-2)+1-(\frac c2-1+1)}{\Delta x}\\&=\lim_{\Delta x\to0+}\left(\frac c2\cdot\Delta x-c+1\right)=-c+1\end{aligned}$에 의해,$\displaystyle b+1=-c+1$이고, $\displaystyle b=-2,\ c=2$이다.$\displaystyle g(x)=-x^2+x+1,\ h(x)=x^2-3x+3$이므로 각 구간에서 $\displaystyle f(x)$는 다음과 같다$\displaystyle f(x)=\begin{cases}g(x)&(x\le1)\\h(x)&(x\ge1)\end{cases}$

따라서 $\displaystyle f^{\prime}(1)=b+1=-1$이다.

(2) $\displaystyle x_1=a,\ x_2=a+\frac12$에서 $\displaystyle f(x_1)$과 $\displaystyle f(x_2)$는 $\displaystyle a$의 값의 범위에 따라 다음과 같다.$\displaystyle \begin{array}{lll}a\le\frac12\text{일 때}&f(x_1)=g(x_1),&f(x_2)=g(x_2)\\\frac12<a<1\text{일 때}&f(x_1)=g(x_1),&f(x_2)=h(x_2)\\a\ge1\text{일 때}&f(x_1)=h(x_1),&f(x_2)=h(x_2)\end{array}$두 직선 $\displaystyle l$과 $\displaystyle m$이 만나지 않으려면 두 직선의 기울기가 같아야 하므로, $\displaystyle x_1$과 $\displaystyle x_2$는 각각 이차함수 $\displaystyle g$와 $\displaystyle h$가 정의되는 구간에 속해야 한다.

따라서 $\displaystyle \frac12<a<1$이고, 두 직선의 기울기가 같은 조건을 이용하여 $\displaystyle -2a+1=2\left(a+\frac12\right)-3$, 즉 $\displaystyle a=\frac34$이다.