의·약학계 1-1번

[논제 Ⅰ-1] (1) 초점이 $\displaystyle (p,0)$과 $\displaystyle (t,0)$인 타원의 장축의 길이를 $\displaystyle 2a$, 단축의 길이를 $\displaystyle 2b$, 두 초점 사이의 거리를 $\displaystyle 2c$라고 하자. 이 타원의 중심은 $\displaystyle (a,0)$이고, 중심은 두 초점의 중점이므로, $\displaystyle a=\frac{t+p}2$이다. $\displaystyle b^2=a^2-c^2$으로부터 $\displaystyle b^2=\left(\frac{t+p}2\right)^2-\left(\frac{t-p}2\right)^2=pt$를 얻는다.주어진 두 타원의 장축과 단축의 길이는 각각 $\displaystyle 3p+p=4p,\ 2\sqrt{3p\times p}=2\sqrt3p$와 $\displaystyle t+p,\ 2\sqrt{tp}$이다.

타원의 꼭짓점들로 이루어진 마름모들이 서로 닮음이면 장축과 단축의 비율이 같고, 이 비율이 같으면 서로 닮음이다. 따라서 $\displaystyle \frac{2\sqrt3p}{4p}=\frac{2\sqrt{tp}}{t+p}$이고, 정리하면 $\displaystyle 3t^2-10pt+3p^2=0$을 얻는다. 그러므로 $\displaystyle t=3p$ 또는 $\displaystyle t=\frac p3$인데 $\displaystyle t$는 $\displaystyle 3p$와 다르므로, $\displaystyle t=\frac p3$이다.

(2) 초점이 $\displaystyle x$축의 양의 방향 위에 있고 원점을 지나는 타원의 방정식은 그 장축의 길이가 $\displaystyle 2a$, 단축의 길이가 $\displaystyle 2b$일 때 $\displaystyle \frac{(x-a)^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$이다.이때, (1)에서 살펴본 대로, $\displaystyle a=\frac{n+p}2,\ b=\sqrt{pn}$이다. $\displaystyle x$좌표가 $\displaystyle k$이고, $\displaystyle y$좌표가 0보다 큰 타원 위의 점을 $\displaystyle (k,m)$이라 하면 $\displaystyle m=\frac ba\sqrt{2ak-k^2}$이다.타원 $\displaystyle \frac{(x-a)^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 위의 점 $\displaystyle (k,m)$에서의 접선의 기울기는 타원 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 위의 점 $\displaystyle (k-a,m)$에서의 접선의 기울기와 같다. 타원 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 위의 점 $\displaystyle (k-a,m)$에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle \frac{(k-a)x}{a^2}+\frac{my}{b^2}=1$이므로,$\displaystyle a_n=\frac{b^2(a-k)}{a^2}\frac1m=\frac{b^2(a-k)}{a^2}\frac a{b\sqrt{2ak-k^2}}=\frac{(a-k)b}{a\sqrt{2ak-k^2}}=\frac{(n+p-2k)\sqrt{pn}}{(n+p)\sqrt{(n+p)k-k^2}}$이다.

따라서 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{n+p-2k}{n+p}\frac{\sqrt{pn}}{\sqrt{kn+pk-k^2}}=\sqrt{\frac pk}$이다.