의·약학계 1번

[논제 Ⅰ-1] (1) 초점이 $\displaystyle (p,0)$과 $\displaystyle (t,0)$인 타원의 장축의 길이를 $\displaystyle 2a$, 단축의 길이를 $\displaystyle 2b$, 두 초점 사이의 거리를 $\displaystyle 2c$라고 하자. 이 타원의 중심은 $\displaystyle (a,0)$이고, 중심은 두 초점의 중점이므로, $\displaystyle a=\frac{t+p}2$이다. $\displaystyle b^2=a^2-c^2$으로부터 $\displaystyle b^2=\left(\frac{t+p}2\right)^2-\left(\frac{t-p}2\right)^2=pt$를 얻는다.주어진 두 타원의 장축과 단축의 길이는 각각 $\displaystyle 3p+p=4p,\ 2\sqrt{3p\times p}=2\sqrt3p$와 $\displaystyle t+p,\ 2\sqrt{tp}$이다.

타원의 꼭짓점들로 이루어진 마름모들이 서로 닮음이면 장축과 단축의 비율이 같고, 이 비율이 같으면 서로 닮음이다. 따라서 $\displaystyle \frac{2\sqrt3p}{4p}=\frac{2\sqrt{tp}}{t+p}$이고, 정리하면 $\displaystyle 3t^2-10pt+3p^2=0$을 얻는다. 그러므로 $\displaystyle t=3p$ 또는 $\displaystyle t=\frac p3$인데 $\displaystyle t$는 $\displaystyle 3p$와 다르므로, $\displaystyle t=\frac p3$이다.

(2) 초점이 $\displaystyle x$축의 양의 방향 위에 있고 원점을 지나는 타원의 방정식은 그 장축의 길이가 $\displaystyle 2a$, 단축의 길이가 $\displaystyle 2b$일 때 $\displaystyle \frac{(x-a)^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$이다.이때, (1)에서 살펴본 대로, $\displaystyle a=\frac{n+p}2,\ b=\sqrt{pn}$이다. $\displaystyle x$좌표가 $\displaystyle k$이고, $\displaystyle y$좌표가 0보다 큰 타원 위의 점을 $\displaystyle (k,m)$이라 하면 $\displaystyle m=\frac ba\sqrt{2ak-k^2}$이다.타원 $\displaystyle \frac{(x-a)^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 위의 점 $\displaystyle (k,m)$에서의 접선의 기울기는 타원 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 위의 점 $\displaystyle (k-a,m)$에서의 접선의 기울기와 같다. 타원 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 위의 점 $\displaystyle (k-a,m)$에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle \frac{(k-a)x}{a^2}+\frac{my}{b^2}=1$이므로,$\displaystyle a_n=\frac{b^2(a-k)}{a^2}\frac1m=\frac{b^2(a-k)}{a^2}\frac a{b\sqrt{2ak-k^2}}=\frac{(a-k)b}{a\sqrt{2ak-k^2}}=\frac{(n+p-2k)\sqrt{pn}}{(n+p)\sqrt{(n+p)k-k^2}}$이다.

따라서 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{n+p-2k}{n+p}\frac{\sqrt{pn}}{\sqrt{kn+pk-k^2}}=\sqrt{\frac pk}$이다.

[논제 Ⅰ-2](1) 동전의 앞면이 나오는 것을 H, 동전의 뒷면이 나오는 것을 T로 나타내자. 세 선분 $\displaystyle \mathrm{OP}_1,\ \mathrm P_1\mathrm P_2,\ \mathrm P_2\mathrm O$로 둘러싸인 도형의 넓이가 6 이상이 되려면, 세 점 $\displaystyle \mathrm O,\mathrm P_1,\mathrm P_2$가 삼각형을 이뤄야 하며, 따라서 첫 번째 시행과 두 번째 시행에서 동전이 HT나 TH로 나와야 한다. 이 조건을 만족할 확률은 $\displaystyle \frac12$이다.

또한, 첫 번째 시행과 두 번째 시행에서 나온 주사위의 눈의 수를 각각 $\displaystyle a,b$라 하면 $\displaystyle ab\ge12$여야 한다. 이를 만족하는 $\displaystyle (a,b)$ 순서쌍은 총 17개이며, 따라서 이 확률은 $\displaystyle \frac{17}{36}$이다. 그러므로 세 선분 $\displaystyle \mathrm{OP}_1,\ \mathrm P_1\mathrm P_2,\ \mathrm P_2\mathrm O$로 둘러싸인 도형의 넓이가 6 이상일 확률은$\displaystyle \frac12\times\frac{17}{36}=\frac{17}{72}$

(2) 세 선분 $\displaystyle \mathrm{OP}_2,\ \mathrm P_2\mathrm P_3,\ \mathrm P_3\mathrm O$로 둘러싸인 도형의 넓이가 18 이상이 되려면, 세 점 $\displaystyle \mathrm O,\mathrm P_2,\mathrm P_3$이 삼각형을 이뤄야 한다. 세 점 $\displaystyle \mathrm O,\mathrm P_2,\mathrm P_3$이 삼각형을 이루려면, 세 번의 시행에서 동전이 HTT, HTH, HHT, THH, THT, TTH로 나와야 한다. 세 선분 $\displaystyle \mathrm{OP}_2,\ \mathrm P_2\mathrm P_3,\ \mathrm P_3\mathrm O$로 둘러싸인 도형의 넓이가 18 이상인 사건을 $\displaystyle A$, 세 번째 시행에서 던진 주사위에서 나온 눈의 수가 6인 사건을 $\displaystyle B$라 하자.

1) HTT 인 경우동전이 HTT로 나올 확률은 $\displaystyle \frac18$이며, 이때 각 시행에서 나온 주사위의 눈의 수를 차례대로 $\displaystyle a,b,c$라 하면 $\displaystyle ac\ge36$이어야 하며, 이를 만족하는 $\displaystyle (a,c)$ 순서쌍은 1개이다. 따라서, 이때의 확률은$\displaystyle \frac18\times\frac1{36}=\frac1{288}$2) HTH 인 경우동전이 HTH로 나올 확률은 $\displaystyle \frac18$이며, 이때 각 시행에서 나온 주사위의 눈의 수를 차례대로 $\displaystyle a,b,c$라 하면 $\displaystyle bc\ge36$이어야 하며, 이를 만족하는 $\displaystyle (b,c)$ 순서쌍은 1개이다. 따라서, 이때의 확률은$\displaystyle \frac18\times\frac1{36}=\frac1{288}$3) HHT 인 경우동전이 HHT로 나올 확률은 $\displaystyle \frac18$이며, 이때 각 시행에서 나온 주사위의 눈의 수를 차례대로 $\displaystyle a,b,c$라 하면 $\displaystyle (a+b)c\ge36$이어야 한다. 이를 만족하는 $\displaystyle (a,b,c)$ 순서쌍의 개수는 $\displaystyle c=6$일 때 $\displaystyle a+b\ge6$인 순서쌍 26개, $\displaystyle c=5$일 때 $\displaystyle a+b\ge8$인 순서쌍 15개, $\displaystyle c=4$일 때 $\displaystyle a+b\ge9$인 순서쌍 10개, $\displaystyle c=3$일 때 $\displaystyle a+b\ge12$인 순서쌍 1개로 총 52개이다. 따라서, 이때의 확률은$\displaystyle \frac18\times\frac{52}{216}=\frac{52}{1728}=\frac{13}{432}$4) THH인 경우는 1) HTT인 경우와 동일하므로, 확률은 $\displaystyle \frac1{288}$이다.5) THT인 경우는 2) HTH인 경우와 동일하므로, 확률은 $\displaystyle \frac1{288}$이다.6) TTH인 경우는 3) HHT인 경우와 동일하므로, 확률은 $\displaystyle \frac{13}{432}$이다.따라서,$\displaystyle \mathrm P(A)=\frac1{288}+\frac1{288}+\frac{13}{432}+\frac1{288}+\frac1{288}+\frac{13}{432}=\frac{32}{432}=\frac2{27}$

한편, 세 선분 $\displaystyle \mathrm{OP}_2,\ \mathrm P_2\mathrm P_3,\ \mathrm P_3\mathrm O$로 둘러싸인 도형의 넓이가 18 이상이면서 세 번째 시행에서 던진 주사위에서 나온 눈의 수가 6일 확률을 비슷한 방법으로 구하면, 1) HTT인 경우 $\displaystyle \frac1{288}$ 2) HTH인 경우 $\displaystyle \frac1{288}$ 3) HHT인 경우 $\displaystyle \frac{13}{864}$ 4) THT인 경우 $\displaystyle \frac1{288}$ 5) THH인 경우 $\displaystyle \frac1{288}$ 6) TTH인 경우 $\displaystyle \frac{13}{864}$이므로$\displaystyle \mathrm P(A\cap B)=\frac1{288}+\frac1{288}+\frac{13}{864}+\frac1{288}+\frac1{288}+\frac{13}{864}=\frac{19}{432}$따라서, 세 선분 $\displaystyle \mathrm{OP}_2,\ \mathrm P_2\mathrm P_3,\ \mathrm P_3\mathrm O$로 둘러싸인 도형의 넓이가 18 이상일 때, 세 번째 시행에서 던진 주사위에서 나온 눈의 수가 6일 확률은$\displaystyle \mathrm P(B|A)=\frac{\mathrm P(A\cap B)}{\mathrm P(A)}=\frac{\frac{19}{432}}{\frac2{27}}=\frac{19}{32}$