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자연계열 3번

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경희대 2025학년도 수시 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/khu/2025su/jayeon_3

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[라] 삼각형 ABC에서 외접원의 반지름의 길이를 R\displaystyle R라고 하면asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\displaystyle \frac a{\sin A}=\frac b{\sin B}=\frac c{\sin C}=2R

[마] 등비급수 ∑n=1∞arn−1 (a≠0)\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1}\ (a\ne0)은① ∣r∣<1\displaystyle |r|<1일 때, 수렴하고 그 합은 a1−r\displaystyle \frac a{1-r}이다.② ∣r∣≥1\displaystyle |r|\ge1일 때, 발산한다.

[바] 사인함수와 코사인함수의 덧셈정리① sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β, sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β\displaystyle \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta,\ \sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta② cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β, cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\displaystyle \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta,\ \cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta

[사] 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 어떤 구간에서 미분가능하고, 이 구간의 모든 x\displaystyle x에 대하여① f′(x)>0\displaystyle f^{\prime}(x)>0이면 f(x)\displaystyle f(x)는 이 구간에서 증가한다.② f′(x)<0\displaystyle f^{\prime}(x)<0이면 f(x)\displaystyle f(x)는 이 구간에서 감소한다.

[논제 Ⅲ] <그림 2>와 같이 좌표평면 위에 원점 O를 지나고 기울기가 양수인 직선 l\displaystyle l과 기울기가 음수인 직선 m\displaystyle m이 있다. (단, 0<α<π2, 0<β<π2)\displaystyle \left(\text{단, }0<\alpha<\frac\pi2,\ 0<\beta<\frac\pi2\right) 점 P1(1,0)\displaystyle \mathrm P_1(1,0)에서 시작하여 제1사분면에서 ∠P1P2O=π3\displaystyle \angle\mathrm P_1\mathrm P_2\mathrm O=\frac\pi3인 직선 l\displaystyle l 위의 점 P2\displaystyle \mathrm P_2를 찾는다. 점 P2\displaystyle \mathrm P_2에서 y\displaystyle y축에 내린 수선의 발을 P3\displaystyle \mathrm P_3, 제2사분면에서 ∠P3P4O=π3\displaystyle \angle\mathrm P_3\mathrm P_4\mathrm O=\frac\pi3인 직선 m\displaystyle m 위의 점 P4\displaystyle \mathrm P_4를 찾는다. 점 P4\displaystyle \mathrm P_4에서 x\displaystyle x축에 내린 수선의 발을 P5\displaystyle \mathrm P_5라 하자. 이와 같은 방법으로 하여, 시계 반대 방향으로 점 P6,P7,P8,P9,⋯\displaystyle \mathrm P_6,\mathrm P_7,\mathrm P_8,\mathrm P_9,\cdots를 한없이 만들어 나갈 때, 다음 물음에 답하시오.

두 직선 l, m과 점 P₁부터 P₉까지의 나선 모양

(1) OP5‾\displaystyle \overline{\mathrm{OP}_5}를 α\displaystyle \alpha와 β\displaystyle \beta에 대한 식으로 정리하면OP5‾=Asin⁡(α+B)sin⁡αcos⁡(β+C)cos⁡β\displaystyle \overline{\mathrm{OP}_5}=A\sin(\alpha+B)\sin\alpha\cos(\beta+C)\cos\beta일 때, 상수 A,B,C\displaystyle A,B,C의 값을 각각 구하고 그 근거를 논술하시오. (단, 0<B<π2, −π2<C<0)\displaystyle \left(\text{단, }0<B<\frac\pi2,\ -\frac\pi2<C<0\right) (16점)

(2) β=π6\displaystyle \beta=\frac\pi6일 때, x\displaystyle x축 위의 점 P1,P5,P9,⋯\displaystyle \mathrm P_1,\mathrm P_5,\mathrm P_9,\cdots에 대하여, OP1‾+OP5‾+OP9‾+⋯\displaystyle \overline{\mathrm{OP}_1}+\overline{\mathrm{OP}_5}+\overline{\mathrm{OP}_9}+\cdots의 합을 α\displaystyle \alpha에 대한 식으로 구하고, 이를 f(α)\displaystyle f(\alpha)라 하자. 이때, f(α)\displaystyle f(\alpha)의 증가와 감소의 표를 구하시오. 이를 이용하여 f(α)\displaystyle f(\alpha)가 최대가 되는 α\displaystyle \alpha의 값과, 그때의 최댓값을 구하고 그 근거를 논술하시오. (21점)

해설강의 준비중

논술 나선

관련 개념강의 준비중

경희대 2025학년도 수시 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/khu/2025su/jayeon_3

+10점 · 제시문의 삼각함수의 성질을 이용하여, 선분의 길이에 대한 관계식을 구한다.

(1) 삼각형 OP1P2\displaystyle \mathrm{OP}_1\mathrm P_2에서 사인법칙을 적용하여,OP2‾sin⁡(π−(α+π3))=OP1‾sin⁡π3\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{OP}_2}}{\sin\left(\pi-\left(\alpha+\frac\pi3\right)\right)}=\frac{\overline{\mathrm{OP}_1}}{\sin\frac\pi3}이고, OP2‾=23sin⁡(α+π3)OP1‾\displaystyle \overline{\mathrm{OP}_2}=\frac2{\sqrt3}\sin\left(\alpha+\frac\pi3\right)\overline{\mathrm{OP}_1}이다.직각삼각형 OP3P2\displaystyle \mathrm{OP}_3\mathrm P_2에서 OP3‾=sin⁡α OP2‾\displaystyle \overline{\mathrm{OP}_3}=\sin\alpha\,\overline{\mathrm{OP}_2}이다.이와 같은 방법으로, α\displaystyle \alpha 대신 π2−β\displaystyle \frac\pi2-\beta를 사용하여 OP3‾\displaystyle \overline{\mathrm{OP}_3}으로부터 OP4‾\displaystyle \overline{\mathrm{OP}_4}와 OP5‾\displaystyle \overline{\mathrm{OP}_5}는OP4‾=23sin⁡(π2−β+π3)OP3‾\displaystyle \overline{\mathrm{OP}_4}=\frac2{\sqrt3}\sin\left(\frac\pi2-\beta+\frac\pi3\right)\overline{\mathrm{OP}_3}이고, OP5‾=sin⁡(π2−β)OP4‾\displaystyle \overline{\mathrm{OP}_5}=\sin\left(\frac\pi2-\beta\right)\overline{\mathrm{OP}_4}이다.

+6점 · OP5‾\displaystyle \overline{\mathrm{OP}_5}를 제시한 식으로 정리하여, A,B,C\displaystyle A,B,C의 값을 구한다.

위의 결과들과 OP1‾=1\displaystyle \overline{\mathrm{OP}_1}=1을 모두 적용하면,OP5‾=43sin⁡(α+π3)sin⁡αsin⁡(π2−β+π3)sin⁡(π2−β)\displaystyle \overline{\mathrm{OP}_5}=\frac43\sin\left(\alpha+\frac\pi3\right)\sin\alpha\sin\left(\frac\pi2-\beta+\frac\pi3\right)\sin\left(\frac\pi2-\beta\right)이며, 아래 등식들을 적용하여sin⁡(π2−β+π3)=sin⁡(π2−(β−π3))=cos⁡(β−π3),sin⁡(π2−β)=cos⁡β,\displaystyle \sin\left(\frac\pi2-\beta+\frac\pi3\right)=\sin\left(\frac\pi2-\left(\beta-\frac\pi3\right)\right)=\cos\left(\beta-\frac\pi3\right),\quad\sin\left(\frac\pi2-\beta\right)=\cos\beta,OP5‾=43sin⁡(α+π3)sin⁡αcos⁡(β−π3)cos⁡β\displaystyle \overline{\mathrm{OP}_5}=\frac43\sin\left(\alpha+\frac\pi3\right)\sin\alpha\cos\left(\beta-\frac\pi3\right)\cos\beta이다.따라서, A=43, B=π3, C=−π3\displaystyle A=\frac43,\ B=\frac\pi3,\ C=-\frac\pi3이다.

+7점 · 길이의 합이 등비급수임을 보인다.

(2) β=π6\displaystyle \beta=\frac\pi6이면, OP5‾=OP1‾sin⁡(α+π3)sin⁡α\displaystyle \overline{\mathrm{OP}_5}=\overline{\mathrm{OP}_1}\sin\left(\alpha+\frac\pi3\right)\sin\alpha이고,삼각형 OP1P2, OP5P6, OP9P10,⋯\displaystyle \mathrm{OP}_1\mathrm P_2,\ \mathrm{OP}_5\mathrm P_6,\ \mathrm{OP}_9\mathrm P_{10},\cdots들은 모두 닮음이고, 그 닮음비가 OP5‾OP1‾=OP9‾OP5‾=⋯\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{OP}_5}}{\overline{\mathrm{OP}_1}}=\frac{\overline{\mathrm{OP}_9}}{\overline{\mathrm{OP}_5}}=\cdots이므로, OP1‾+OP5‾+OP9‾+⋯\displaystyle \overline{\mathrm{OP}_1}+\overline{\mathrm{OP}_5}+\overline{\mathrm{OP}_9}+\cdots의 합은 첫째항이 OP1‾=1\displaystyle \overline{\mathrm{OP}_1}=1이고

+7점 · 등비급수의 첫째항과 공비를 구하고, 등비급수의 합을 구한다.

공비가 r=OP4n+1‾OP4n−3‾=sin⁡(α+π3)sin⁡α\displaystyle r=\frac{\overline{\mathrm{OP}_{4n+1}}}{\overline{\mathrm{OP}_{4n-3}}}=\sin\left(\alpha+\frac\pi3\right)\sin\alpha인 등비급수의 합이다. 따라서, 0<α<π2\displaystyle 0<\alpha<\frac\pi2에서 ∣r∣<1\displaystyle |r|<1이므로 제시문 [마]에 의해f(α)=11−sin⁡(α+π3)sin⁡α\displaystyle f(\alpha)=\frac1{1-\sin\left(\alpha+\frac\pi3\right)\sin\alpha}

+7점 · 미분을 이용하여 f(α)\displaystyle f(\alpha)에 대한 증가와 감소의 표를 구하고, f(α)\displaystyle f(\alpha)가 최대일 때의 α\displaystyle \alpha와 그 최댓값을 구한다.

이며, f(α)\displaystyle f(\alpha)를 미분하여 삼각함수의 덧셈정리를 적용하여 정리하면f′(α)=cos⁡(α+π3)sin⁡α+sin⁡(α+π3)cos⁡α(1−sin⁡(α+π3)sin⁡α)2=sin⁡(2α+π3)(1−sin⁡(α+π3)sin⁡α)2\displaystyle f^{\prime}(\alpha)=\frac{\cos\left(\alpha+\frac\pi3\right)\sin\alpha+\sin\left(\alpha+\frac\pi3\right)\cos\alpha}{\left(1-\sin\left(\alpha+\frac\pi3\right)\sin\alpha\right)^2}=\frac{\sin\left(2\alpha+\frac\pi3\right)}{\left(1-\sin\left(\alpha+\frac\pi3\right)\sin\alpha\right)^2}0<α<π2\displaystyle 0<\alpha<\frac\pi2에서 f(α)\displaystyle f(\alpha)에 대하여 다음과 같이 증가와 감소의 표를 구할 수 있다.

α\displaystyle \alpha(0)⋯π3\displaystyle \frac\pi3⋯(π2)\displaystyle \left(\frac\pi2\right)
f′(α)\displaystyle f^{\prime}(\alpha)+0−
f(α)\displaystyle f(\alpha)↗4↘

따라서, f(α)\displaystyle f(\alpha)는 α=π3\displaystyle \alpha=\frac\pi3에서 최댓값 4를 갖는다.

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