자연계열 3번

(1) 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OP}_1\mathrm P_2$에서 사인법칙을 적용하여,$\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{OP}_2}}{\sin\left(\pi-\left(\alpha+\frac\pi3\right)\right)}=\frac{\overline{\mathrm{OP}_1}}{\sin\frac\pi3}$이고, $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}_2}=\frac2{\sqrt3}\sin\left(\alpha+\frac\pi3\right)\overline{\mathrm{OP}_1}$이다.직각삼각형 $\displaystyle \mathrm{OP}_3\mathrm P_2$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}_3}=\sin\alpha\,\overline{\mathrm{OP}_2}$이다.이와 같은 방법으로, $\displaystyle \alpha$ 대신 $\displaystyle \frac\pi2-\beta$를 사용하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}_3}$으로부터 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}_4}$와 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}_5}$는$\displaystyle \overline{\mathrm{OP}_4}=\frac2{\sqrt3}\sin\left(\frac\pi2-\beta+\frac\pi3\right)\overline{\mathrm{OP}_3}$이고, $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}_5}=\sin\left(\frac\pi2-\beta\right)\overline{\mathrm{OP}_4}$이다.

위의 결과들과 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}_1}=1$을 모두 적용하면,$\displaystyle \overline{\mathrm{OP}_5}=\frac43\sin\left(\alpha+\frac\pi3\right)\sin\alpha\sin\left(\frac\pi2-\beta+\frac\pi3\right)\sin\left(\frac\pi2-\beta\right)$이며, 아래 등식들을 적용하여$\displaystyle \sin\left(\frac\pi2-\beta+\frac\pi3\right)=\sin\left(\frac\pi2-\left(\beta-\frac\pi3\right)\right)=\cos\left(\beta-\frac\pi3\right),\quad\sin\left(\frac\pi2-\beta\right)=\cos\beta,$$\displaystyle \overline{\mathrm{OP}_5}=\frac43\sin\left(\alpha+\frac\pi3\right)\sin\alpha\cos\left(\beta-\frac\pi3\right)\cos\beta$이다.따라서, $\displaystyle A=\frac43,\ B=\frac\pi3,\ C=-\frac\pi3$이다.

(2) $\displaystyle \beta=\frac\pi6$이면, $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}_5}=\overline{\mathrm{OP}_1}\sin\left(\alpha+\frac\pi3\right)\sin\alpha$이고,삼각형 $\displaystyle \mathrm{OP}_1\mathrm P_2,\ \mathrm{OP}_5\mathrm P_6,\ \mathrm{OP}_9\mathrm P_{10},\cdots$들은 모두 닮음이고, 그 닮음비가 $\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{OP}_5}}{\overline{\mathrm{OP}_1}}=\frac{\overline{\mathrm{OP}_9}}{\overline{\mathrm{OP}_5}}=\cdots$이므로, $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}_1}+\overline{\mathrm{OP}_5}+\overline{\mathrm{OP}_9}+\cdots$의 합은 첫째항이 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}_1}=1$이고

공비가 $\displaystyle r=\frac{\overline{\mathrm{OP}_{4n+1}}}{\overline{\mathrm{OP}_{4n-3}}}=\sin\left(\alpha+\frac\pi3\right)\sin\alpha$인 등비급수의 합이다. 따라서, $\displaystyle 0<\alpha<\frac\pi2$에서 $\displaystyle |r|<1$이므로 제시문 [마]에 의해$\displaystyle f(\alpha)=\frac1{1-\sin\left(\alpha+\frac\pi3\right)\sin\alpha}$

이며, $\displaystyle f(\alpha)$를 미분하여 삼각함수의 덧셈정리를 적용하여 정리하면$\displaystyle f^{\prime}(\alpha)=\frac{\cos\left(\alpha+\frac\pi3\right)\sin\alpha+\sin\left(\alpha+\frac\pi3\right)\cos\alpha}{\left(1-\sin\left(\alpha+\frac\pi3\right)\sin\alpha\right)^2}=\frac{\sin\left(2\alpha+\frac\pi3\right)}{\left(1-\sin\left(\alpha+\frac\pi3\right)\sin\alpha\right)^2}$$\displaystyle 0<\alpha<\frac\pi2$에서 $\displaystyle f(\alpha)$에 대하여 다음과 같이 증가와 감소의 표를 구할 수 있다.

따라서, $\displaystyle f(\alpha)$는 $\displaystyle \alpha=\frac\pi3$에서 최댓값 4를 갖는다.