자연계열 3-4번

(문제 3-4) 각각 독립적으로 단진동 운동하는 5개의 물리계를 $\displaystyle H_1,\ldots,H_5$라고 하자. 어떤 에너지 $\displaystyle u$에 대하여 각 물리계의 양자 역학적 에너지가 $\displaystyle a_1u,\ldots,a_5u$로 주어진다면 전체의 에너지는 $\displaystyle (a_1+\cdots+a_5)u$가 된다. 여기서 $\displaystyle a_1,\ldots,a_5$는 음이 아닌 정수이다. 전체의 에너지가 $\displaystyle 5u$로 일정할 때, 자연수 $\displaystyle S$에 대하여 $\displaystyle a_1^2+\cdots+a_5^2=S$ 를 만족하는 에너지의 순서쌍 $\displaystyle (a_1u,\ldots,a_5u)$의 개수를 $\displaystyle n(S)$라 하자. $\displaystyle n(S)$의 최댓값을 구하여라.