약학과 2번

고려대 세종캠퍼스 2025학년도 수시 약학과 2번 · mathesis.kr/archive/korea-sejong/2025su/yak_2

2. 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

<가> $\displaystyle \beta$ -바이러스를 체내에 가지고 있는 경우 ‘ $\displaystyle \beta$ -바이러스 보균자’(이하 보균자)라 하고, 그렇지 않은 경우 ‘ $\displaystyle \beta$ -바이러스 비보균자’(이하 비보균자)라고 한다. 보균자의 경우는 질환 $\displaystyle \alpha$ 가 발현될 수 있는 반면, 비보균자의 경우는 질환 $\displaystyle \alpha$ 가 발현될 수 없다. 보균자는 질환 $\displaystyle \alpha$ 의 발현 여부와 관계없이 신체접촉을 통해 비보균자를 즉시 감염시킬 수 있다. 질환 $\displaystyle \alpha$ 가 발현 중인 보균자가 비보균자를 감염시킬 확률이 25%이다. 또한, 질환 $\displaystyle \alpha$ 가 발현된다면 감염 즉시 발현되어 $\displaystyle \beta$ -바이러스가 유지되는 동안 사라지지 않으며 발현될 확률은 40%이다. 발현 여부는 검사를 통해서만 확인할 수 있다. 보균자 체내의 $\displaystyle \beta$ -바이러스는 자연적으로 사라지지 않는다.

<나> 제약회사 $\displaystyle \mathrm{C}$ 는 보균자의 체내 $\displaystyle \beta$ -바이러스를 없앨 수 있는 알약을 만들고 있다. 만든 알약 한 개의 무게는 평균이 $\displaystyle m_1$ , 표준편차가 $\displaystyle \sigma_1$ 인 정규분포를 따른다고 한다. 이 제약회사에서 만든 알약 한 개의 무게가 평균과의 차이가 $\displaystyle 2\sigma_1$ 이하이면 정상 알약으로 분류한다. 하루에 정상 알약 한 개를 보균자가 복용 시 비보균자로 전환될 확률은 60%, 정상이 아닌 알약을 복용 시 비보균자로 전환될 확률은 10%이다. 단, 보균자는 매일 같은 시간에 한 알만 복용하는 것으로 가정한다. 또한, 당일 복용한 알약의 효과는 1시간 이내로 결정된다. 비보균자로 전환된 사람은 다시 보균자로 전환되지 않는다.

<다> 확률변수 $\displaystyle Z$ 가 평균 0, 분산 1인 정규분포를 따를 때 $\displaystyle Z$ 는 표준정규분포 $\displaystyle \mathrm{N}(0,1)$ 을 따른다고 하고, $\displaystyle Z$ 의 확률분포표는 다음과 같다.

$\displaystyle z$	$\displaystyle \mathrm{P}(0\le Z\le z)$
1.0	0.34
1.5	0.43
2.0	0.48

<라> 일부 숫자들의 거듭제곱에 대한 근삿값 정보는 다음과 같다.

$\displaystyle n$	$\displaystyle 0.41^n$	$\displaystyle 0.42^n$	$\displaystyle 0.43^n$	$\displaystyle 0.44^n$
2	0.168	0.176	0.185	0.194
3	0.069	0.074	0.080	0.085
4	0.028	0.031	0.034	0.037
5	0.012	0.013	0.015	0.016

2-1. 질환 $\displaystyle \alpha$ 가 발현 중인 한 명의 보균자가 하루 동안 100명의 비보균자와 접촉하였다. 다음날 100명을 대상으로 질환 $\displaystyle \alpha$ 의 발현 여부를 검사하였을 때, 16명 이상 질환 $\displaystyle \alpha$ 가 발현될 확률을 구하시오. (단, 검사시점까지 100명의 사람끼리는 서로 접촉하지 않는다.) [70점]

2-2. 제시문<나>의 제약회사 $\displaystyle \mathrm{C}$ 에서 만든 알약 중에서 임의로 선택한 알약 1개의 무게가 4.5 이하일 확률이 0.93 이고 2 이하일 확률이 0.16 일 때, $\displaystyle m_1$ 과 $\displaystyle \sigma_1$ 을 구하시오. (단, 알약의 무게의 단위는 g이다.) [70점]

2-3. 한 명의 보균자가 매일 오전 9시에 제시문 <나>의 제약회사 $\displaystyle \mathrm{C}$ 에서 만든 알약을 임의로 한 알씩 선택하여 복용하려고 한다. 2024년 11월 23일 오전 9시에 처음 복용한 후 2024년 11월 26일 오후 11시까지 비보균자로 전환될 확률을 구하시오. (단, 약에 의한 보균자의 $\displaystyle \beta$ -바이러스 소멸상태를 복용 후 1시간 뒤 검사하여 확정하며, 비보균자로 전환된 이후로는 약을 복용하지 않는다.) [80점]

2-4. 다른 제약회사 $\displaystyle \mathrm{D}$ 에서 개발한 신약의 무게는 모평균이 $\displaystyle m_2$ 이고 모표준편차가 $\displaystyle \sigma_2$ 인 정규분포를 따른다. 이때 모표준편차 $\displaystyle \sigma_2$ 는 문제 2-2에서 구한 제약회사 $\displaystyle \mathrm{C}$ 의 모표준편차인 $\displaystyle \sigma_1$ 과 같다. 제약회사 $\displaystyle \mathrm{D}$ 에서 만든 신약 중에서 $\displaystyle n$ 개를 임의로 추출하여 얻은 표본평균을 이용하여 구한 모평균 $\displaystyle m_2$ 에 대한 신뢰도 96%의 신뢰구간은 $\displaystyle a\le m_2\le b$ 이다. 이때, $\displaystyle b-a\le0.4$ 가 되기 위한 $\displaystyle n$ 의 최솟값을 구하시오. [80점]

해설강의 준비중

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+20점 · 비보균자가 보균자와 접촉 후 질환

\displaystyle \alpha

가 발현될 확률을 계산한다.

[2-1] 질환 $\displaystyle \alpha$ 가 발현 중인 보균자가 한 명의 비보균자를 감염시킬 확률은 $\displaystyle \frac{25}{100}$ 이고, 감염 후 질환 $\displaystyle \alpha$ 가 발현될 확률은 $\displaystyle \frac{40}{100}$ 이다. 따라서, 질환 $\displaystyle \alpha$ 가 발현 중인 한 명의 보균자가 한 명의 비보균자와 접촉했을 때 비보균자가 질환 $\displaystyle \alpha$ 가 발현될 확률은 $\displaystyle \frac{25}{100}\times\frac{40}{100}=\frac1{10}$ 이다.

+20점 · 이항분포를 이용한 정규분포의 평균과 분산을 계산한다.

전체 비보균자 100명 중 질환 $\displaystyle \alpha$ 가 발현된 사람의 수를 확률 변수 $\displaystyle X$ 라 하면, $\displaystyle X$ 는 시행 횟수 $\displaystyle n=100$ 과 각 시행에서 사건이 일어날 확률 $\displaystyle p=\frac1{10}$ 인 이항분포 $\displaystyle \mathrm{B}\left(100,\frac1{10}\right)$ 를 따른다. 이때 100명은 충분히 큰 수이므로, 확률변수 $\displaystyle X$ 를 근사적으로 평균이 10, 표준편차가 3인 정규분포 $\displaystyle \mathrm{N}(10,3^2)$ 를 따른다고 할 수 있다.

+30점 · 표준정규분포를 이용하여 확률을 계산한다.

즉, 정규분포를 따르는 확률 변수 $\displaystyle X$ 가 16이상의 값을 가질 확률 $\displaystyle P(X\ge16)$ 을 계산하는 문제로 기술할 수 있으며, 아래와 같이 $\displaystyle X$ 의 표준정규화 $\displaystyle Z=\frac{X-10}{3}$ 와 제시문 <다>의 정규분포표를 사용하여 계산할 수 있다. $\displaystyle \mathrm{P}(X\ge16)=\mathrm{P}\left(Z\ge\frac{16-10}{3}\right)=\mathrm{P}(Z\ge2)=0.5-0.48=0.02$ 따라서, 100명의 비보균자 중 16명 이상 질환 $\displaystyle \alpha$ 가 발현될 확률은 2%(혹은 0.02) 이다.

+20점 · 문제에 해당하는 확률변수를 명확하게 정의하고, 정규분포를 만족하는 두 식을 구한다.

+20점 · 표준정규분포를 이용하여

\displaystyle m_1

과

\displaystyle \sigma_1

으로 표현된 두 식을 구한다.

[2-2] $\displaystyle Y$ 를 제약회사 $\displaystyle \mathrm{C}$ 에서 만든 알약 중에서 임의로 선택한 알약의 무게라고 하자. 그러면, $\displaystyle Y$ 는 평균이 $\displaystyle m_1$ 이고 표준편차가 $\displaystyle \sigma_1$ 인 정규분포를 따른다. 또한, 평균과 표준편차를 이용하여 표준정규분포 $\displaystyle Z=\frac{Y-m_1}{\sigma_1}$ 를 정의할 수 있다. 그러면, 문제에서 주어진 무게가 4.5 이하일 확률이 0.93에 대응하는 수식을 다음과 같이 기술할 수 있다. $\displaystyle \mathrm{P}(Y\le4.5)=\mathrm{P}\left(\frac{Y-m_1}{\sigma_1}\le\frac{4.5-m_1}{\sigma_1}\right)=\mathrm{P}\left(Z\le\frac{4.5-m_1}{\sigma_1}\right)=0.93$ 여기서, 표준정규분포의 누적확률값이 0.5보다 크기 때문에, $\displaystyle \frac{4.5-m_1}{\sigma_1}>0$ 을 만족해야 한다. 또한, 확률분포표를 이용하기 위해 두 번째 식을 다음과 같이 나눌 수 있다. $\displaystyle \mathrm{P}\left(Z\le\frac{4.5-m_1}{\sigma_1}\right)=\mathrm{P}(Z\le0)+\mathrm{P}\left(0\le Z\le\frac{4.5-m_1}{\sigma_1}\right)$ $\displaystyle Z$ 는 표준정규분포를 따르기 때문에 $\displaystyle \mathrm{P}(Z\le0)=0.5$ 이므로, $\displaystyle \mathrm{P}\left(0\le Z\le\frac{4.5-m_1}{\sigma_1}\right)=0.43$ 이다. 마찬가지로, 제시문 <다>의 확률분포표를 이용하면 $\displaystyle \frac{4.5-m_1}{\sigma_1}=1.5\cdots\cdots\cdots(1)$ 임을 알 수 있다.마찬가지로 무게가 2 이하일 확률이 0.16에 대응하는 식 $\displaystyle \mathrm{P}(Y\le2)=0.16$ 에 대하여 동일한 방법으로 아래와 같이 계산할 수 있다. $\displaystyle \mathrm{P}\left(Z\le\frac{2-m_1}{\sigma_1}\right)=0.16$ 첫 번째 식과는 달리, 누적확률값이 0.5보다 작기 때문에 $\displaystyle \frac{2-m_1}{\sigma_1}<0$ 을 만족해야 한다. 또한 확률의 정의에 의하여 $\displaystyle \mathrm{P}\left(Z\le\frac{2-m_1}{\sigma_1}\right)=1-\mathrm{P}\left(Z\ge\frac{2-m_1}{\sigma_1}\right)=0.5-\mathrm{P}\left(0\le Z\le\frac{m_1-2}{\sigma_1}\right)$ 정리하면, $\displaystyle \mathrm{P}\left(0\le Z\le\frac{m_1-2}{\sigma_1}\right)=0.34$ 이고 확률분포표를 이용하면 $\displaystyle \frac{m_1-2}{\sigma_1}=1\cdots\cdots\cdots(2)$

+30점 ·

\displaystyle m_1

과

\displaystyle \sigma_1

을 계산한다.

따라서, 방정식 (1) 과 (2)를 만족하는 해 $\displaystyle m_1=3$ 과 $\displaystyle \sigma_1=1$ 이 $\displaystyle Y$ 의 평균과 표준편차이다.

+20점 · 정상 알약을 선택할 확률값을 계산한다.

[2-3] 2-2에서 정의한 $\displaystyle Y$ 로부터, 제약회사에서 알약을 임의로 선택할 때 정상 알약을 선택할 확률은 다음과 같다. $\displaystyle \mathrm{P}(m_1-2\sigma_1\le X\le m_1+2\sigma_1)=\mathrm{P}(-2\le Z\le2)$ Correction. 이 식의 $\displaystyle X$ 는 앞에서 정의한 알약의 무게 $\displaystyle Y$ 를 가리킨다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.정규분포표를 이용하여, 위 식의 값은 $\displaystyle \mathrm{P}(-2\le Z\le2)=0.96$ 임을 알 수 있다. 즉, 정상무게를 선택하는 사건을 $\displaystyle A$ 라고 할 때 $\displaystyle \mathrm{P}(A)=0.96$ 이다.

+30점 · 알약의 정상 여부에 따른 알약을 복용 시 비보균자로 전환될 확률을 계산한다.

여기서 한명의 보균자가 약을 복용하고 비보균자로 변환되는 사건을 $\displaystyle B$ 라고 하면, $\displaystyle \mathrm{P}(B)=\mathrm{P}(B|A)\mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B|A^C)\mathrm{P}(A^C)$ 이다.제시문 <나>에서, 알약 한 개를 보균자가 복용 시 보균자가 비보균자로 전환될 확률은 60%이므로 $\displaystyle \mathrm{P}(B|A)\mathrm{P}(A)=0.6\times0.96$ 이다. 마찬가지로, $\displaystyle \mathrm{P}(B|A^C)\mathrm{P}(A^C)=0.1\times0.04$ 이므로 $\displaystyle \mathrm{P}(B)=0.58$ 이다.

+30점 · 주어진 알약 복용 기간에 따른 확률을 계산한다.

제약회사에서 임의로 알약을 한 개 선택해서 보균자가 복용 시, 비보균자로 전환될 확률은 58%(0.58)이므로, 복용 첫 날(2024년 11월 23일)만에 비보균자로 전환될 확률은 0.58이다.마찬가지로, 한 명의 환자가 복용 첫 날에는 약의 효과가 없고, 다음 날(2024년 11월 24일) 비보균자로 전환될 확률은 $\displaystyle 0.42\times0.58$ 이다. 이 과정을 $\displaystyle k-1$ 일까지 전환이 되지 않고 $\displaystyle k$ 일차에 회복될 확률을 $\displaystyle (0.42)^{k-1}\times0.58$ 로 계산할 수 있다. 따라서, 2024년 11월 26일 저녁까지 비보균자로 전환될 확률은 첫째항이 0.58이고, 공비가 0.42인 등비수열의 넷째 항까지의 합과 동일하다. 이는 제시문 <라>를 이용하여 다음과 같이 계산할 수 있다. $\displaystyle 0.58+0.42\times0.58+(0.42)^2\times0.58+(0.42)^3\times0.58=0.58\times\frac{(1-(0.42)^4)}{1-0.42}=0.969$ 따라서, 2024년 11월 26일 저녁까지 비보균자로 전환될 확률은 96.9%(0.969)이다.

+20점 · 신뢰구간에 대응하는 적합한

\displaystyle z

값을 구한다.

+40점 · 제약회사 D의 약의 무게의 분포를 정확하게 기술하고, 임의로 추출한 약 무게의 표본의 신뢰도 96%의 신뢰구간에 해당하는 식을 세운다.

[2-4] 제약회사 $\displaystyle \mathrm{D}$ 에서 개발한 알약을 임의로 한 개 선택했을 때 알약의 무게를 $\displaystyle W$ 라 하면, $\displaystyle W$ 는 정규분포 $\displaystyle \mathrm{N}(m_2,\sigma_1^2)$ 을 따른다. 임의로 $\displaystyle n$ 개의 알약을 선택할 경우 $\displaystyle m_2$ 에 대한 96%신뢰구간을 계산하면 다음과 같다. $\displaystyle \mathrm{P}\left(\overline W-2\frac{\sigma_1}{\sqrt n}\le m_2\le\overline W+2\frac{\sigma_1}{\sqrt n}\right)=0.96$ 여기서, $\displaystyle \overline W$ 는 선택된 알약 무게의 평균이다.

+20점 · 신뢰구간으로부터

\displaystyle a,b

값을 구하고,

\displaystyle b-a\le0.4

을 만족하는 자연수

\displaystyle n

의 값의 범위를 계산한다.

즉, $\displaystyle b-a=2\times2\times\frac{\sigma_1}{\sqrt n}$ 이고 $\displaystyle \sigma_1=1$ 로 주어져 있다. 즉, $\displaystyle b-a=2\times2\times\frac1{\sqrt n}$ 이다. $\displaystyle b-a\le0.4$ 를 만족하는 $\displaystyle n$ 값의 범위는 $\displaystyle 4\times\frac1{\sqrt n}\le0.4$ 이고, 위 식을 정리하면 $\displaystyle n\ge100$ 이다. 따라서, $\displaystyle b-a\le0.4$ 를 만족하기 위해 선택해야 하는 알약의 최소 개수는 100개다.

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