약학과 2번

[2-1] 질환 $\displaystyle \alpha$가 발현 중인 보균자가 한 명의 비보균자를 감염시킬 확률은 $\displaystyle \frac{25}{100}$이고, 감염 후 질환 $\displaystyle \alpha$가 발현될 확률은 $\displaystyle \frac{40}{100}$이다. 따라서, 질환 $\displaystyle \alpha$가 발현 중인 한 명의 보균자가 한 명의 비보균자와 접촉했을 때 비보균자가 질환 $\displaystyle \alpha$가 발현될 확률은 $\displaystyle \frac{25}{100}\times\frac{40}{100}=\frac1{10}$이다.전체 비보균자 100명 중 질환 $\displaystyle \alpha$가 발현된 사람의 수를 확률 변수 $\displaystyle X$라 하면, $\displaystyle X$는 시행 횟수 $\displaystyle n=100$과 각 시행에서 사건이 일어날 확률 $\displaystyle p=\frac1{10}$인 이항분포 $\displaystyle \mathrm{B}\left(100,\frac1{10}\right)$를 따른다. 이때 100명은 충분히 큰 수이므로, 확률변수 $\displaystyle X$를 근사적으로 평균이 10, 표준편차가 3인 정규분포 $\displaystyle \mathrm{N}(10,3^2)$를 따른다고 할 수 있다. 즉, 정규분포를 따르는 확률 변수 $\displaystyle X$가 16이상의 값을 가질 확률 $\displaystyle P(X\ge16)$을 계산하는 문제로 기술할 수 있으며, 아래와 같이 $\displaystyle X$의 표준정규화 $\displaystyle Z=\frac{X-10}{3}$와 제시문 <다>의 정규분포표를 사용하여 계산할 수 있다.$\displaystyle \mathrm{P}(X\ge16)=\mathrm{P}\left(Z\ge\frac{16-10}{3}\right)=\mathrm{P}(Z\ge2)=0.5-0.48=0.02$따라서, 100명의 비보균자 중 16명 이상 질환 $\displaystyle \alpha$가 발현될 확률은 2%(혹은 0.02) 이다.

[2-2] $\displaystyle Y$를 제약회사 $\displaystyle \mathrm{C}$에서 만든 알약 중에서 임의로 선택한 알약의 무게라고 하자. 그러면, $\displaystyle Y$는 평균이 $\displaystyle m_1$이고 표준편차가 $\displaystyle \sigma_1$인 정규분포를 따른다. 또한, 평균과 표준편차를 이용하여 표준정규분포 $\displaystyle Z=\frac{Y-m_1}{\sigma_1}$를 정의할 수 있다. 그러면, 문제에서 주어진 무게가 4.5 이하일 확률이 0.93에 대응하는 수식을 다음과 같이 기술할 수 있다.$\displaystyle \mathrm{P}(Y\le4.5)=\mathrm{P}\left(\frac{Y-m_1}{\sigma_1}\le\frac{4.5-m_1}{\sigma_1}\right)=\mathrm{P}\left(Z\le\frac{4.5-m_1}{\sigma_1}\right)=0.93$여기서, 표준정규분포의 누적확률값이 0.5보다 크기 때문에, $\displaystyle \frac{4.5-m_1}{\sigma_1}>0$을 만족해야 한다. 또한, 확률분포표를 이용하기 위해 두 번째 식을 다음과 같이 나눌 수 있다.$\displaystyle \mathrm{P}\left(Z\le\frac{4.5-m_1}{\sigma_1}\right)=\mathrm{P}(Z\le0)+\mathrm{P}\left(0\le Z\le\frac{4.5-m_1}{\sigma_1}\right)$$\displaystyle Z$는 표준정규분포를 따르기 때문에 $\displaystyle \mathrm{P}(Z\le0)=0.5$ 이므로,$\displaystyle \mathrm{P}\left(0\le Z\le\frac{4.5-m_1}{\sigma_1}\right)=0.43$이다. 마찬가지로, 제시문 <다>의 확률분포표를 이용하면$\displaystyle \frac{4.5-m_1}{\sigma_1}=1.5\cdots\cdots\cdots(1)$임을 알 수 있다.마찬가지로 무게가 2 이하일 확률이 0.16에 대응하는 식 $\displaystyle \mathrm{P}(Y\le2)=0.16$에 대하여 동일한 방법으로 아래와 같이 계산할 수 있다.$\displaystyle \mathrm{P}\left(Z\le\frac{2-m_1}{\sigma_1}\right)=0.16$첫 번째 식과는 달리, 누적확률값이 0.5보다 작기 때문에 $\displaystyle \frac{2-m_1}{\sigma_1}<0$을 만족해야 한다. 또한 확률의 정의에 의하여$\displaystyle \mathrm{P}\left(Z\le\frac{2-m_1}{\sigma_1}\right)=1-\mathrm{P}\left(Z\ge\frac{2-m_1}{\sigma_1}\right)=0.5-\mathrm{P}\left(0\le Z\le\frac{m_1-2}{\sigma_1}\right)$정리하면, $\displaystyle \mathrm{P}\left(0\le Z\le\frac{m_1-2}{\sigma_1}\right)=0.34$이고 확률분포표를 이용하면$\displaystyle \frac{m_1-2}{\sigma_1}=1\cdots\cdots\cdots(2)$따라서, 방정식 (1) 과 (2)를 만족하는 해 $\displaystyle m_1=3$과 $\displaystyle \sigma_1=1$이 $\displaystyle Y$의 평균과 표준편차이다.

[2-3] 2-2에서 정의한 $\displaystyle Y$로부터, 제약회사에서 알약을 임의로 선택할 때 정상 알약을 선택할 확률은 다음과 같다.$\displaystyle \mathrm{P}(m_1-2\sigma_1\le X\le m_1+2\sigma_1)=\mathrm{P}(-2\le Z\le2)$Correction. 이 식의 $\displaystyle X$는 앞에서 정의한 알약의 무게 $\displaystyle Y$를 가리킨다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.정규분포표를 이용하여, 위 식의 값은 $\displaystyle \mathrm{P}(-2\le Z\le2)=0.96$임을 알 수 있다. 즉, 정상무게를 선택하는 사건을 $\displaystyle A$라고 할 때 $\displaystyle \mathrm{P}(A)=0.96$이다. 여기서 한명의 보균자가 약을 복용하고 비보균자로 변환되는 사건을 $\displaystyle B$라고 하면,$\displaystyle \mathrm{P}(B)=\mathrm{P}(B|A)\mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B|A^C)\mathrm{P}(A^C)$이다.제시문 <나>에서, 알약 한 개를 보균자가 복용 시 보균자가 비보균자로 전환될 확률은 60%이므로 $\displaystyle \mathrm{P}(B|A)\mathrm{P}(A)=0.6\times0.96$이다. 마찬가지로, $\displaystyle \mathrm{P}(B|A^C)\mathrm{P}(A^C)=0.1\times0.04$이므로 $\displaystyle \mathrm{P}(B)=0.58$이다. 제약회사에서 임의로 알약을 한 개 선택해서 보균자가 복용 시, 비보균자로 전환될 확률은 58%(0.58)이므로, 복용 첫 날(2024년 11월 23일)만에 비보균자로 전환될 확률은 0.58이다.마찬가지로, 한 명의 환자가 복용 첫 날에는 약의 효과가 없고, 다음 날(2024년 11월 24일) 비보균자로 전환될 확률은 $\displaystyle 0.42\times0.58$이다. 이 과정을 $\displaystyle k-1$일까지 전환이 되지 않고 $\displaystyle k$일차에 회복될 확률을 $\displaystyle (0.42)^{k-1}\times0.58$로 계산할 수 있다. 따라서, 2024년 11월 26일 저녁까지 비보균자로 전환될 확률은 첫째항이 0.58이고, 공비가 0.42인 등비수열의 넷째 항까지의 합과 동일하다. 이는 제시문 <라>를 이용하여 다음과 같이 계산할 수 있다.$\displaystyle 0.58+0.42\times0.58+(0.42)^2\times0.58+(0.42)^3\times0.58=0.58\times\frac{(1-(0.42)^4)}{1-0.42}=0.969$따라서, 2024년 11월 26일 저녁까지 비보균자로 전환될 확률은 96.9%(0.969)이다.

[2-4] 제약회사 $\displaystyle \mathrm{D}$에서 개발한 알약을 임의로 한 개 선택했을 때 알약의 무게를 $\displaystyle W$라 하면, $\displaystyle W$는 정규분포 $\displaystyle \mathrm{N}(m_2,\sigma_1^2)$을 따른다. 임의로 $\displaystyle n$개의 알약을 선택할 경우 $\displaystyle m_2$에 대한 96%신뢰구간을 계산하면 다음과 같다.$\displaystyle \mathrm{P}\left(\overline W-2\frac{\sigma_1}{\sqrt n}\le m_2\le\overline W+2\frac{\sigma_1}{\sqrt n}\right)=0.96$여기서, $\displaystyle \overline W$는 선택된 알약 무게의 평균이다. 즉, $\displaystyle b-a=2\times2\times\frac{\sigma_1}{\sqrt n}$이고 $\displaystyle \sigma_1=1$로 주어져 있다. 즉, $\displaystyle b-a=2\times2\times\frac1{\sqrt n}$이다. $\displaystyle b-a\le0.4$를 만족하는 $\displaystyle n$값의 범위는 $\displaystyle 4\times\frac1{\sqrt n}\le0.4$ 이고, 위 식을 정리하면 $\displaystyle n\ge100$이다. 따라서, $\displaystyle b-a\le0.4$를 만족하기 위해 선택해야 하는 알약의 최소 개수는 100개다.