자연계열 2번

1. 폐구간 $\displaystyle [a,b]$에서 연속인 함수는 최솟값과 최댓값을 가진다.

2. 폐구간 $\displaystyle [a,b]$에서 연속인 증가함수 $\displaystyle y=f(x)$의 최솟값을 $\displaystyle c$, 최댓값을 $\displaystyle d$라 하면, 폐구간 $\displaystyle [c,d]$에서 연속인 역함수 $\displaystyle y=f^{-1}(x)$가 존재한다. 이 경우에 $\displaystyle y=f(x)$와 $\displaystyle x=f^{-1}(y)$는 평면에서 같은 점을 나타낸다.

3. 실수구간에서 정의된 두 함수 $\displaystyle f(x)$와 $\displaystyle g(x)$에서 함수 $\displaystyle f(x)$의 치역이 함수 $\displaystyle g(x)$의 정의역에 포함되면 합성함수 $\displaystyle g(f(x))$는 정의된다.두 함수 $\displaystyle f(x)$와 $\displaystyle g(x)$가 미분가능이면 합성함수 $\displaystyle g(f(x))$도 미분가능한 함수이고, 그 도함수는 $\displaystyle (g(f(x)))^{\prime}=f^{\prime}(x)g^{\prime}(f(x))$이다.

4. 미분가능한 함수 $\displaystyle f(x)$의 역함수 $\displaystyle f^{-1}(x)$가 존재하고 $\displaystyle f^{\prime}(x)\ne0$이면 $\displaystyle f^{-1}(x)$도 미분가능하다.