자연계열 3번

3-1>다음과 같이 사각형의 각 변을 벡터에 대응시키면

벡터의 합에 성질에 의해서 다음이 성립한다.$\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}$각 변의 중점을 각각 변 $\displaystyle AB$의 중점을 $\displaystyle a$, 변 $\displaystyle BC$의 중점을 $\displaystyle b$, 변 $\displaystyle CD$의 중점을 $\displaystyle c$, 변 $\displaystyle DA$의 중점을 $\displaystyle d$라고 놓으면$\displaystyle \overrightarrow{ab}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}}2=\frac{\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}}2=\overrightarrow{cd}$$\displaystyle \overrightarrow{ac}=\frac{\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}}2=\frac{\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{DC}}2=\overrightarrow{bd}$이므로 두 쌍의 대변이 서로 평행하므로 사각형 $\displaystyle abcd$는 평행사변형이다.

3-2>변 $\displaystyle AC$의 중점을 $\displaystyle M$이라 하면 $\displaystyle \overrightarrow{OA}+\frac12\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OM}$이다.따라서 $\displaystyle \overrightarrow{OM}+x\overrightarrow{BC}$가 삼각형의 내부에 놓이기 위해서는 $\displaystyle -\frac12<x<0$이다.