등비급수

TMI. 제논의 역설 — 아킬레스와 거북이아킬레스가 앞서 출발한 거북이를 쫓아간다. 거북이를 따라잡으려면 먼저 거북이가 있던 곳까지 가야 한다. 그런데 그곳에 도착하면 거북이는 조금 더 앞으로 가 있다. 다시 그곳까지 가도 거북이는 또 앞으로 가 있다. 이 과정이 끝없이 반복되므로 아킬레스는 거북이를 따라잡을 수 없다는 것이 제논의 역설이다.〔스탠퍼드 철학백과〕거북이가 $\displaystyle 100\text{ m}$ 앞에서 출발하고, 아킬레스와 거북이의 속력이 각각 초속 $\displaystyle 10\text{ m}$, $\displaystyle 1\text{ m}$라고 하자. 아킬레스가 거북이의 이전 위치까지 가는 데 걸리는 시간은 차례로$\displaystyle 10,\quad 1,\quad \frac1{10},\quad \frac1{100},\quad\cdots$초이다. 이 시간들을 모두 더하면$\displaystyle 10+1+\frac1{10}+\frac1{100}+\cdots=\frac{10}{1-\frac1{10}}=\frac{100}{9}$이므로, 아킬레스는 $\displaystyle \frac{100}{9}$초 뒤에 거북이를 따라잡는다.단계를 무한히 나눌 수 있다는 것과 시간이 무한히 걸린다는 것은 별개이다. 더하는 항이 무한히 많아도 그 합은 유한할 수 있다.

TMI. 폰 노이만의 파리 문제$\displaystyle 20\text{ km}$ 떨어진 두 자전거가 각각 시속 $\displaystyle 10\text{ km}$로 서로를 향해 출발한다. 동시에 한쪽 자전거에서 파리 한 마리가 시속 $\displaystyle 15\text{ km}$로 다른 자전거를 향해 날아간다. 파리는 자전거에 도착할 때마다 즉시 방향을 바꾸어 두 자전거 사이를 왕복한다. 두 자전거가 만날 때까지 파리가 날아간 총거리는 얼마일까?파리가 한 번 방향을 바꿀 때까지 날아간 거리는 차례로$\displaystyle 12,\quad 12\cdot\frac15,\quad 12\cdot\left(\frac15\right)^2,\quad\cdots$이므로, 등비급수의 합을 구하면$\displaystyle \frac{12}{1-\frac15}=15\text{ km}$이다.더 간단하게 생각할 수도 있다. 두 자전거는 $\displaystyle 1$시간 뒤에 만나므로, 그동안 시속 $\displaystyle 15\text{ km}$로 날아간 파리의 이동 거리는 $\displaystyle 15\text{ km}$이다.폰 노이만은 이 문제를 듣자마자 답을 내놓았다고 한다. 질문자가 이미 문제를 알고 있었느냐고 묻자, 등비급수를 더했을 뿐이라고 답했다는 이야기.〔그레셤 칼리지 강연〕