자연계열 5번

[문제 5-1] $\displaystyle f(x)=x^{2}$이라 하자.$\displaystyle \left(x_{n},x_{n}^{2}\right)$에서 곡선 $\displaystyle y=x^{2}$에 접하는 직선의 방정식은 $\displaystyle y-f(x_{n})=f^{\prime}(x_{n})(x-x_{n})$이다.

$\displaystyle f^{\prime}(x)=2x$이므로 $\displaystyle x_{n+1}=-\frac{f(x_{n})}{f^{\prime}(x_{n})}+x_{n}$에서 $\displaystyle x_{n+1}=\frac{1}{2}x_{n}$이다.

수열 $\displaystyle \{x_{n}\}$은 첫째항이 $\displaystyle k$이고 공비가 $\displaystyle \frac{1}{2}$인 등비수열이므로$\displaystyle a_{k}=\sum_{n=1}^{\infty}x_{n}=\sum_{n=1}^{\infty}k\times\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=\frac{k}{1-\frac{1}{2}}=2k$이다.따라서 $\displaystyle a_{2025}=4050$

[문제 5-2] 주어진 $\displaystyle l$에 수직인 직선의 방정식은 $\displaystyle y=-\frac{1}{4k}(x-2k)+4k^{2}$이므로 $\displaystyle b_{k}=16k^{3}+2k$이다.

$\displaystyle c_{m}=\left(\frac{a_{1}^{3}}{b_{m}-a_{m}}+1\right)^{\frac{a_{1}^{2}}{m^{3}}}\times\left(\frac{a_{2}^{3}}{b_{m}-a_{m}}+1\right)^{\frac{a_{2}^{2}}{m^{3}}}\times\cdots\times\left(\frac{a_{m}^{3}}{b_{m}-a_{m}}+1\right)^{\frac{a_{m}^{2}}{m^{3}}}$이라 하자.$\displaystyle b_{m}-a_{m}=16m^{3}$이므로$\displaystyle c_{m}=\left(\frac{1^{3}}{2\times m^{3}}+1\right)^{\frac{4\times 1^{2}}{m^{3}}}\times\left(\frac{2^{3}}{2\times m^{3}}+1\right)^{\frac{4\times 2^{2}}{m^{3}}}\times\left(\frac{3^{3}}{2\times m^{3}}+1\right)^{\frac{4\times 3^{2}}{m^{3}}}\times\cdots\times\left(\frac{m^{3}}{2\times m^{3}}+1\right)^{\frac{4\times m^{2}}{m^{3}}}$

$\displaystyle \lim_{m\to\infty}c_{m}=\alpha$라 하자.$\displaystyle \ln c_{m}=\sum_{k=1}^{m}\frac{4k^{2}}{m^{3}}\ln\left\{\frac{1}{2}\left(\frac{k}{m}\right)^{3}+1\right\}$이므로$\displaystyle \begin{aligned} \lim_{m\to\infty}\ln c_{m} &=\lim_{m\to\infty}\sum_{k=1}^{m}\frac{4k^{2}}{m^{3}}\ln\left\{\frac{1}{2}\left(\frac{k}{m}\right)^{3}+1\right\} \\ &=\int_{0}^{1}4x^{2}\ln\left(\frac{x^{3}}{2}+1\right)dx \end{aligned}$이다.

$\displaystyle \int_{0}^{1}4x^{2}\ln\left(\frac{x^{3}}{2}+1\right)dx=4\ln\frac{3}{2}-\frac{4}{3}$이므로 $\displaystyle \ln\alpha=4\ln\frac{3}{2}-\frac{4}{3}$이고, $\displaystyle \alpha=e^{4\ln\frac{3}{2}-\frac{4}{3}}=\frac{81}{16}e^{-\frac{4}{3}}$