자연계열 5번

[문제 5-1] $\displaystyle f(0)=cf(0)$이고$\displaystyle c\ne1$이므로$\displaystyle f(0)=0$이다.$\displaystyle 0<c<1$일 때는 $\displaystyle q=c$, $\displaystyle c>1$일 때는 $\displaystyle q=1/c$라 하면$\displaystyle 0<q<1$이고,주어진 조건에서 $\displaystyle f(qx)=qf(x)$이므로$\displaystyle f(q^kx)=q^kf(x)$이다.특히 $\displaystyle x=1$일 때$\displaystyle f^{\prime}(0)=\lim_{k\to\infty}\frac{f(q^k)-f(0)}{q^k}=f(1)=1885$이다.

$\displaystyle x\ne0$인 임의의 실수에 대해서도 $\displaystyle q^kx\to0$이므로$\displaystyle 1885=f^{\prime}(0)=\lim_{k\to\infty}\frac{f(q^kx)}{q^kx}=\frac{f(x)}x$이다.$\displaystyle x=0$에서도 성립하므로$\displaystyle f(x)=1885x$이고,이 함수는 주어진 조건을 모두 만족한다.

[문제 5-2] 조건에서 $\displaystyle f(cx)=c^2f(x)$이므로$\displaystyle f(c^{j-1}x)=c^{2(j-1)}f(x)$이다.따라서 $\displaystyle x=c^{j-1}u$로 치환하면$\displaystyle \int_{c^j}^{c^{j-1}}f(x)\,dx=c^{3(j-1)}\int_c^1f(u)\,du=c^{3(j-1)}$이다.

그러므로$\displaystyle a_k=\sum_{j=1}^kc^{3(j-1)}=\frac{1-c^{3k}}{1-c^3}$이고,$\displaystyle 0<c<1$이므로$\displaystyle \lim_{k\to\infty}a_k=\frac1{1-c^3}$이다.