자연계열 II 2-1번

묶음 시간 2번 전체 묶음: 30분

중앙대 2016학년도 수시 자연계열 II 2-1번 · mathesis.kr/archive/cau/2016su/jayeon2_2_1

[문제 2] 다음 제시문 (가)와 (나)를 읽고 문제에 답하시오.

(가) 미분가능한 함수 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 $\displaystyle (x_1,f(x_1))$ 에서의 접선의 방정식은 다음과 같다. $\displaystyle y-f(x_1)=f^{\prime}(x_1)(x-x_1)$ 곡선 밖의 점 $\displaystyle (α,β)$ 에서 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 에 그은 접선의 접점은 위 식에 $\displaystyle (x,y)=(α,β)$ 를 대입하여 구한다.

(나) 두 평면벡터 $\displaystyle \vec a=(a_1,a_2),\vec b=(b_1,b_2)$ 가 이루는 각의 크기를 $\displaystyle θ$ 라 할 때, 두 벡터 $\displaystyle \vec a$ 와 $\displaystyle \vec b$ 의 내적은 다음과 같다. $\displaystyle \vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos θ=a_1b_1+a_2b_2$

[문제 2-1] 점 $\displaystyle \mathrm P(0,p)$ 에서 $\displaystyle y=-(x-a)^2$ 에 그은 접선은 두 개이다(단, $\displaystyle p>0$ ). 두 접선의 접점을 각각 A, B라 하자. A, B를 구하는 과정을 논리적으로 제시하시오. 또한 $\displaystyle a=0$ 일 때, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PB}}$ 의 최솟값을 구하는 과정을 논리적으로 설명하시오. [10점]

해설강의 준비중

중앙대 2016학년도 수시 자연계열 II 2-1번 · mathesis.kr/archive/cau/2016su/jayeon2_2_1

문제 2-1 예시 답안

+4점 · [2-1] A, B를 구하면

점 $\displaystyle \mathrm P(0,p)\ (p>0)$ 에서 포물선 $\displaystyle y=-(x-a)^2$ 에 그은 접선의 접점을 $\displaystyle (x_1,y_1)$ 이라 하자.제시문 (가)에 의하여 접선의 방정식은 $\displaystyle y+(x_1-a)^2=-2(x_1-a)(x-x_1)$ 이고, 점 $\displaystyle (0,p)$ 를 대입하면, $\displaystyle x_1^2=a^2+p$ 를 얻는다. 따라서, 점 $\displaystyle \mathrm A(\sqrt{a^2+p},-(a-\sqrt{a^2+p})^2),\mathrm B(-\sqrt{a^2+p},-(a+\sqrt{a^2+p})^2)$ 를 얻는다.

+3점 · [2-1]

\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PB}}=4p^2-p

를 정확히 구하면

따라서, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PB}}=-(a^2+p)+p^2+(4a^2+2p)p+p^2=(4p-1)a^2+4p^2-p$ $\displaystyle a=0$ 을 대입하면, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PB}}=4p^2-p$ 이다. 이를 $\displaystyle g(p)$ 라 두면,

+3점 · [2-1]

\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PB}}

의 최솟값

\displaystyle -\frac1{16}

을 구하면

$\displaystyle g^{\prime}(p)=8p-1$ 이므로, $\displaystyle g(p)$ 의 최솟값은 $\displaystyle p=\frac18$ 일 때, $\displaystyle g(\frac18)=-\frac1{16}$ 이다.

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