수리논술, 이게 다다.

자연계열 II 2-2번

오류 제보

묶음 시간 2번 전체 묶음: 30분

중앙대 2016학년도 수시 자연계열 II 2-2번 · mathesis.kr/archive/cau/2016su/jayeon2_2_2

이전 문제
배점10점
예상 소요 시간미공개
다음 문제

문제

[문제 2] 다음 제시문 (가)와 (나)를 읽고 문제에 답하시오.

(가) 미분가능한 함수 y=f(x)\displaystyle y=f(x) 위의 점 (x1,f(x1))\displaystyle (x_1,f(x_1))에서의 접선의 방정식은 다음과 같다.y−f(x1)=f′(x1)(x−x1)\displaystyle y-f(x_1)=f^{\prime}(x_1)(x-x_1)곡선 밖의 점 (α,β)\displaystyle (α,β)에서 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x)에 그은 접선의 접점은 위 식에 (x,y)=(α,β)\displaystyle (x,y)=(α,β)를 대입하여 구한다.

(나) 두 평면벡터 a⃗=(a1,a2),b⃗=(b1,b2)\displaystyle \vec a=(a_1,a_2),\vec b=(b_1,b_2)가 이루는 각의 크기를 θ\displaystyle θ라 할 때, 두 벡터 a⃗\displaystyle \vec a와 b⃗\displaystyle \vec b의 내적은 다음과 같다.a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ=a1b1+a2b2\displaystyle \vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos θ=a_1b_1+a_2b_2

[문제 2-2] 좌표평면에서 원점을 중심으로 반지름이 1인 원 C가 있다. 원 C 밖에 있는 점 R에서 원 C에 그은 접선은 두 개이다. 점 R에서 원 C에 그은 접선의 접점을 각각 E, F라 하자. 부등식 0≤RE→⋅RF→≤1\displaystyle 0\le\overrightarrow{\mathrm{RE}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{RF}}\le1을 만족시키는 점 R이 나타내는 영역의 넓이를 구하는 과정을 논리적으로 제시하시오. [10점]

해설강의 준비중

중앙대 2016학년도 수시 자연계열 II 2-2번 · mathesis.kr/archive/cau/2016su/jayeon2_2_2

문제 2-2 예시 답안

오른쪽 그림과 같이 점 R로부터 원점까지의 거리를 r이라 하자.

원 밖의 점 R에서 단위원에 그은 두 접선과 각 θ
+2점 · [2-2] RE→⋅RF→=(r2−1)cos⁡2θ\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{RE}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{RF}}=(r^2-1)\cos2θ라고 놓으면

RE→⋅RF→=∣RE→∣∣RF→∣cos⁡θ\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{RE}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{RF}}=|\overrightarrow{\mathrm{RE}}||\overrightarrow{\mathrm{RF}}|\cos θ이므로,Correction. [2-2] 대학 예시답안의 첫 번째 내적 식에서 cos⁡θ\displaystyle \cos θ는 cos⁡2θ\displaystyle \cos2θ의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.RE→⋅RF→=(r2−1)cos⁡2θ\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{RE}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{RF}}=(r^2-1)\cos2θ이다.

+4점 · [2-2] RE→⋅RF→=(r2−1)(r2−2)r2\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{RE}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{RF}}=\frac{(r^2-1)(r^2-2)}{r^2}를 얻으면

cos⁡2θ=2cos⁡2θ−1=2(1−1r2)−1=r2−2r2\displaystyle \cos2θ=2\cos^2θ-1=2(1-\frac1{r^2})-1=\frac{r^2-2}{r^2}이므로,주어진 영역은 0≤(r2−1)(r2−2)r2≤1\displaystyle 0\le\frac{(r^2-1)(r^2-2)}{r^2}\le1이므로r4−3r2+2≥0\displaystyle r^4-3r^2+2\ge0이며, r4−4r2+2≤0\displaystyle r^4-4r^2+2\le0을 만족한다. 또한, 원 밖에 위치하므로, r2≥1\displaystyle r^2\ge1을 만족한다.

+2점 · [2-2] 부등식을 풀어서 2≤r2≤2+2\displaystyle 2\le r^2\le2+\sqrt2를 얻으면

이 부등식을 풀면, 2≤r2≤2+2\displaystyle 2\le r^2\le2+\sqrt2를 만족한다.

+2점 · [2-2] 2π\displaystyle \sqrt2π라는 답을 얻으면

따라서, 큰 원의 넓이에서 작은 원의 넓이를 뺀 2π\displaystyle \sqrt2π가 점 R이 움직이는 도형의 넓이가 된다.

첨삭 사례

아직 등록된 첨삭 사례가 없습니다.

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.