자연계열 II 2번

점 $\displaystyle \mathrm P(0,p)\ (p>0)$에서 포물선 $\displaystyle y=-(x-a)^2$에 그은 접선의 접점을 $\displaystyle (x_1,y_1)$이라 하자.제시문 (가)에 의하여 접선의 방정식은 $\displaystyle y+(x_1-a)^2=-2(x_1-a)(x-x_1)$이고, 점 $\displaystyle (0,p)$를 대입하면, $\displaystyle x_1^2=a^2+p$를 얻는다. 따라서, 점 $\displaystyle \mathrm A(\sqrt{a^2+p},-(a-\sqrt{a^2+p})^2),\mathrm B(-\sqrt{a^2+p},-(a+\sqrt{a^2+p})^2)$를 얻는다.

따라서, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PB}}=-(a^2+p)+p^2+(4a^2+2p)p+p^2=(4p-1)a^2+4p^2-p$$\displaystyle a=0$을 대입하면, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PB}}=4p^2-p$이다. 이를 $\displaystyle g(p)$라 두면,

$\displaystyle g^{\prime}(p)=8p-1$이므로, $\displaystyle g(p)$의 최솟값은 $\displaystyle p=\frac18$일 때, $\displaystyle g(\frac18)=-\frac1{16}$이다.

$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{RE}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{RF}}=|\overrightarrow{\mathrm{RE}}||\overrightarrow{\mathrm{RF}}|\cos θ$이므로,Correction. [2-2] 대학 예시답안의 첫 번째 내적 식에서 $\displaystyle \cos θ$는 $\displaystyle \cos2θ$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{RE}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{RF}}=(r^2-1)\cos2θ$이다.

$\displaystyle \cos2θ=2\cos^2θ-1=2(1-\frac1{r^2})-1=\frac{r^2-2}{r^2}$이므로,주어진 영역은 $\displaystyle 0\le\frac{(r^2-1)(r^2-2)}{r^2}\le1$이므로$\displaystyle r^4-3r^2+2\ge0$이며, $\displaystyle r^4-4r^2+2\le0$을 만족한다. 또한, 원 밖에 위치하므로, $\displaystyle r^2\ge1$을 만족한다.

이 부등식을 풀면, $\displaystyle 2\le r^2\le2+\sqrt2$를 만족한다. 따라서, 큰 원의 넓이에서 작은 원의 넓이를 뺀 $\displaystyle \sqrt2π$가 점 R이 움직이는 도형의 넓이가 된다.