자연계열 II 3번

중앙대 2016학년도 수시 자연계열 II 3번 · mathesis.kr/archive/cau/2016su/jayeon2_3

[문제 3] 다음 제시문을 읽고 문제에 답하시오.

(가) 좌표평면 위의 점을, 원점을 중심으로 각 $\displaystyle θ$ 만큼 회전하는 일차변환은 $\displaystyle 2×2$ 행렬 $\displaystyle \begin{pmatrix}\cos θ&-\sin θ\\\sin θ&\cos θ\end{pmatrix}$ 로 표현된다.

(나) 좌표평면 위의 점을, 원점을 닮음의 중심으로 하고 닮음비가 실수 $\displaystyle k\ (k\ne0)$ 인 일차변환은 $\displaystyle 2×2$ 행렬 $\displaystyle \begin{pmatrix}k&0\\0&k\end{pmatrix}$ 로 표현된다.

(다) 두 일차변환 f와 g를 나타내는 행렬을 각각 A, B라 하면 f와 g의 합성변환 $\displaystyle g\circ f$ 는 일차변환이고, $\displaystyle g\circ f$ 를 나타내는 행렬은 BA이다.

■ 삼각형 $\displaystyle \mathrm A_{n+1}\mathrm B_{n+1}\mathrm C_{n+1}$ 은, 삼각형 $\displaystyle \mathrm A_n\mathrm B_n\mathrm C_n$ 을 (가)에서 각 $\displaystyle θ=\fracπ{2^n}$ 만큼 일차변환한 후, (나)에서 닮음비 $\displaystyle k=\frac{n+1}n$ 인 일차변환을 통하여 옮겨진 삼각형이다. (단, $\displaystyle n$ 은 자연수이며 삼각형 $\displaystyle \mathrm A_1\mathrm B_1\mathrm C_1$ 의 꼭짓점의 좌표는 $\displaystyle \mathrm A_1(1,2),\mathrm B_1(3,2),\mathrm C_1(2,5)$ 이다.)

[문제 3-1] 삼각형 $\displaystyle \mathrm A_n\mathrm B_n\mathrm C_n$ 의 넓이를 $\displaystyle D_n$ 이라 할 때, $\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{D_n}{n^3(n+1)}$ 을 구하는 과정을 논리적으로 제시하시오. [10점]

[문제 3-2] 점 $\displaystyle \mathrm A_n$ 의 좌표를 $\displaystyle \mathrm A_n(a_n,b_n)$ 으로 표기할 때, 극한값 $\displaystyle \lim_{n\to∞}\frac{a_n+b_n}{n+1}$ 을 구하는 과정을 논리적으로 제시하시오. [20점]

해설강의 준비중

중앙대 2016학년도 수시 자연계열 II 3번 · mathesis.kr/archive/cau/2016su/jayeon2_3

문제 3-1 예시 답안

+4점 · [3-1] 점화식 유도

\displaystyle D_n=\left(\frac n{n-1}\right)^2D_{n-1}

넓이는 회전변환에 대하여 변하지 않으므로 $\displaystyle D_n=\left(\frac n{n-1}\right)^2D_{n-1}$ 인 점화식을 만족한다.

+2점 · [3-1]

\displaystyle D_n=n^2D_1

추론 +2점 · [3-1]

\displaystyle D_1=3

구하는 것 +2점 · [3-1]

\displaystyle 3\sum_{n=1}^∞(\frac1n-\frac1{n+1})=3

구하는 것

따라서 $\displaystyle D_n=\left(\frac n{n-1}\right)^2\left(\frac{n-1}{n-2}\right)^2\cdots\left(\frac21\right)^2D_1=n^2,D_n=3n^2$ 이다.Correction. 이 식의 $\displaystyle D_n=n^2$ 는 $\displaystyle D_n=n^2D_1$ 의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다. $\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{D_n}{n^3(n+1)}=\sum_{n=1}^∞\frac3{n(n+1)}=3\sum_{n=1}^∞\left(\frac1n-\frac1{n+1}\right)=3$ 이다.

문제 3-2 예시 답안

+5점 · [3-2] 회전변환과 닮음변환은 교환가능 말하면 (명확하게 서술하지 않고 그냥 교환하면 −2점) +5점 · [3-2]

\displaystyle S(\frac n{n-1})\cdots S(\frac21)=S(n)

(점화식 순서를 잘못 생각하여

\displaystyle n+1

로 쓰면 −2점) +5점 · [3-2]

\displaystyle R(\fracπ{2^{n-1}})\cdots R(\fracπ2)=R(\fracπ{2^{n-1}}+\cdots+\fracπ2)

(잘못 생각하여

\displaystyle \fracπ{2^n}+\cdots+\fracπ2

로 쓰면 −2점)

회전변환을 $\displaystyle R(θ)$ 로 닮음변환을 $\displaystyle S(k)$ 로 표기하면, 교환 가능하다. 즉, $\displaystyle R(θ)S(k)=S(k)R(θ)$ 이다. 따라서 $\displaystyle \begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix}=S\left(\frac n{n-1}\right)\cdots S\left(\frac21\right)R\left(\fracπ{2^{n-1}}\right)\cdots R\left(\fracπ2\right)\begin{pmatrix}a_1\\b_1\end{pmatrix}=S(n)R\left(\fracπ{2^{n-1}}+\cdots+\fracπ2\right)\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}$ Correction. 마지막 열벡터의 $\displaystyle a_2$ 는 $\displaystyle b_1$ 의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

+5점 · [3-2]

\displaystyle \lim_{n\to∞}\frac{a_n+b_n}{n+1}=-3

(계산실수는 −2점)

등비수열 합을 구하면 $\displaystyle \fracπ2+\cdots+\fracπ{2^n}+\cdots=π$ 이므로 $\displaystyle n\to∞$ 이면 $\displaystyle \frac1n\begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix}\to R(π)\begin{pmatrix}a_1\\b_1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-a_1\\-b_1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-2\end{pmatrix}$ 이다.따라서 $\displaystyle \lim_{n\to∞}\frac{a_n+b_n}{n+1}=\lim_{n\to∞}\frac{a_n+b_n}n\frac n{n+1}=-3$ 이 된다.

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