중앙대 2017학년도 수시 자연계열 I 3-2번 해설

[문제 3] 다음 제시문 (가)~(라)를 읽고 문제에 답하시오.

(가) 점 A에서 점 B로 방향이 주어진 선분 AB를 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}}$ 로 나타내고, 선분 AB의 길이를 벡터의 크기 $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$ 로 나타낸다.

(가) 좌표평면 위의 주어진 점 $\displaystyle (a,b)$ 와 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 $\displaystyle (x,y)$ 사이의 거리 $\displaystyle \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}$ 의 최솟값을 점 $\displaystyle (a,b)$ 와 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 사이의 거리라 정의한다.

(다) 함수 $\displaystyle f:X\to Y$ 가 일대일 대응일 때 역함수 $\displaystyle f^{-1}:Y\to X$ 가 존재하고 다음과 같이 정의된다.

$\displaystyle y=f(x)\iff x=f^{-1}(y)$

(라) 미분가능한 함수 $\displaystyle g(t)$ 에 대하여 $\displaystyle x=g(t)$ 로 놓으면 다음이 성립한다.

$\displaystyle \int f(x)\,dx=\int f(g(t))g^{\prime}(t)\,dt$

[문제 3-2] 좌표평면 위의 점 $\displaystyle (t,0)$ 과 곡선 $\displaystyle y=e^x$ 사이의 거리를 $\displaystyle L(t)$ 라 할 때, 정적분 $\displaystyle \int_1^{1+e^2}L^2(t)\,dt$ 를 구하시오. [15점]

중앙대 2017학년도 수시 자연계열 I 3-2번 · mathesis.kr/archive/cau/2017su/jayeon1_3_2

문제 3-2 예시 답안

+5점 · [3-2] 관계

\displaystyle t=s+e^{2s}

을 유도하면 +8점 · [3-2] 함수

\displaystyle t=s+e^{2s}

가 일대일 대응임을 보이고

\displaystyle \frac{dt}{ds}=1+2e^{2s}

을 계산하고

\displaystyle \int_1^{1+e^2}(e^{4s}+e^{2s})\,dt=\int_0^1\{(e^{4s}+e^{2s})(1+2e^{2s})\}\,ds

를 보이면 (일대일 대응에 대한 설명이 없으면 −2점) +2점 · [3-2]

\displaystyle \int_0^1\{(e^{4s}+e^{2s})(1+2e^{2s})\}\,ds=\frac13e^6+\frac34e^4+\frac12e^2-\frac{19}{12}

을 계산하면

$\displaystyle y=e^x$ 위의 점 $\displaystyle (s,e^s)$ 의 접선과 수직을 이루며 $\displaystyle (s,e^s)$ 을 지나는 직선의 방정식은 $\displaystyle y-e^s=-e^{-s}(x-s)$ 이고 이것이 $\displaystyle (t,0)$ 을 지나므로 대입하면 $\displaystyle t=s+e^{2s}$ 인 관계를 얻는다. 점 $\displaystyle (t,0)$ 와 곡선 $\displaystyle y=e^x$ 의 거리의 제곱은 $\displaystyle L^2(t)=(t-s)^2+(e^s)^2=e^{4s}+e^{2s}$ 이다. $\displaystyle \frac{dt}{ds}=1+2e^{2s}$ 을 이용하고 함수 $\displaystyle t=s+e^{2s}$ 가 일대일 대응임을 고려하면 $\displaystyle \int_1^{1+e^2}L^2(t)\,dt=\int_1^{1+e^2}(e^{4s}+e^{2s})\,dt=\int_0^1\{(e^{4s}+e^{2s})(1+2e^{2s})\}\,ds$ 이 되고, 계산하면 $\displaystyle \int_0^1\{(e^{4s}+e^{2s})(1+2e^{2s})\}\,ds=\frac13e^6+\frac34e^4+\frac12e^2-\frac{19}{12}$ 이다.

※ 각 단계에서 답이 틀려도 논리성을 고려하여 부분 점수 2~3점 부여 가능

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.

자연계열 I 3-2번

문제

첨삭 사례

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개