수리논술, 이게 다다.

자연계열 II 1번

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중앙대 2017학년도 수시 자연계열 II 1번 · mathesis.kr/archive/cau/2017su/jayeon2_1

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문제

[문제 1] 눈으로는 무게를 구별할 수 없고 무게가 서로 다른 구슬들이 있다. 양팔저울을 사용하여 이 구슬들을 가벼운 것부터 무거운 순서대로 정렬하려고 한다. 이를 위해서 다음과 같은 방식을 고려하고 있다고 하자.

● 구슬이 2개일 때 : 저울을 1회 사용하면 정렬할 수 있다.

● 구슬이 3개일 때 : 임의의 구슬을 1개 선택하고, 이 구슬과 나머지 2개 구슬의 무게를 각각 저울을 1회씩 사용하여 비교한다. 임의로 선택한 구슬보다 가볍고 무거운 것이 각각 1개씩 구별될 경우 정렬할 수 있다. 그러나, 나머지 2개 구슬이 모두 더 무겁거나 모두 더 가벼운 경우 그 구슬들은 저울을 1회 더 사용하여 정렬할 수 있다.

● 구슬이 4개일 때 : 임의의 구슬을 1개 선택하고, 이 구슬과 나머지 3개 구슬의 무게를 각각 저울을 1회씩 사용하여 비교한다. 그 후, 구슬이 2개 또는 3개일 때 정렬하는 방식으로 구슬을 정렬할 수 있다.

이와 같은 방식으로, n\displaystyle n개의 구슬들을 가벼운 것부터 정렬하기 위해 양팔저울을 사용하는 횟수를 확률변수 Xn\displaystyle X_n이라고 할 때, X3\displaystyle X_3과 X4\displaystyle X_4의 기댓값을 각각 구하시오. [20점]

해설강의 준비중

중앙대 2017학년도 수시 자연계열 II 1번 · mathesis.kr/archive/cau/2017su/jayeon2_1

● 편의상, E2=E(X2)\displaystyle E_2=\mathrm E(X_2), E3=E(X3)\displaystyle E_3=\mathrm E(X_3), E4=E(X4)\displaystyle E_4=\mathrm E(X_4)로 표시하자.

● 구슬이 2개일 때는 저울의 사용 횟수의 기댓값 E2=1\displaystyle E_2=1이다.

+2점 · E3\displaystyle E_3: 양팔저울을 3번 사용하는 경우를 이해하는가

● 구슬이 3개일 때는 임의로 선택한 구슬이 제일 가볍거나 제일 무거운 경우 2+E2=2+1=3\displaystyle 2+E_2=2+1=3번 저울을 사용할 것이며,

+2점 · E3\displaystyle E_3: 양팔저울을 2번 사용하는 경우를 이해하는가

임의로 선택한 구슬이 중간 무게의 구슬이면 저울을 2번 사용하면 된다.

+4점 · E3\displaystyle E_3: 위의 두 가지 경우를 확률로써 연결시켜서 정답을 유도하는가

따라서, 저울을 사용하는 횟수의 기댓값은E3=13×(2+E2)×2+13×2=83\displaystyle E_3=\frac13\times(2+E_2)\times2+\frac13\times2=\frac83

+2점 · E4\displaystyle E_4: 양팔저울을 (3+E3)\displaystyle (3+E_3)번 사용하는 경우를 이해하는가

● 구슬이 4개일 때는 임의로 선택한 구슬이 제일 가볍거나 제일 무거운 경우 저울 사용 횟수의 기댓값은 (3+E2)\displaystyle (3+E_2)이고, Correction. 대학 예시답안에서 공이 4개인 경우의 첫 번째 식에 적힌 3+E2\displaystyle 3+E_2는 3+E3\displaystyle 3+E_3의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

+2점 · E4\displaystyle E_4: 양팔저울을 (3+E2)\displaystyle (3+E_2)번 사용하는 경우를 이해하는가

나머지 경우는 (3+E2)\displaystyle (3+E_2)이다.

+8점 · E4\displaystyle E_4: 위의 두 가지 경우를 확률로써 연결시켜서 정답을 유도하는가

따라서, 저울을 사용하는 횟수의 기댓값은E4=14×(3+83)×2+14×(3+1)×2=296\displaystyle E_4=\frac14\times\left(3+\frac83\right)\times2+\frac14\times(3+1)\times2=\frac{29}6

※ 각 단계에서 답이 틀려도 논리성을 고려하여 부분 점수 2~3점 부여 가능

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